ALBERT

Notizen: Zusammenfassung Messungen des Abriebs von Glaskugeln bei verschiedenen Schleifmitteln und in verschiedenartigen Flüssigkeiten zeigen, daß die „Schleiffestigkeit“ eines Festkörpers nicht nur — wie bisher angenommen — von dem Einfluß der Flüssigkeit auf die freie Grenzflächenenergie des geschliffenen Körpers, sondern gleichzeitig von einem Einfluß der Flüssigkeit auf das Schleifkorn abhängt. Die Überlagerung beider Wirkungen führt zu einer gegenüber Metall auffallenden Invarianz der Schleiffestigkeit von Glas in Bezug auf die Flüssigkeit. Aus den Messungen folgt weiter, daß die Bestimmung der Schleifhärte oder Schleiffestigkeit keinen eindeutigen Aufschluß über die Adsorption von Flüssigkeiten an festen Grenzflächen zu geben vermag und Abriebmessungen daher auch nicht zur relativen Bestimmung der freien Grenzflächenenergie fester Körper herangezogen werden können.

Notizen: Zusammenfassung Als Ergebnisse dieser Mitteilung können etwa folgende gebucht werden: a) Die Erkenntnis über die eigentümliche Struktur der schubbeanspruchten Platte bezüglich der auf ihr möglichen Wellengebilde und ihrer Fortpflanzungsgeschwindigkeit. b) Die Gewinnung von Parallelogrammformen als einfache Lösungen für spezielle Werte der Schubbelastung und mit jeweils verschiedenen Randbelastungen. c) Die allgemeine Ausbeulungsformel für Rechtecke unter 45° und für andere Parallelogramme mit entsprechender Randbelastung. d) Ein Einblick in die grundsätzliche Schwierigkeit allgemeinerer Ansätze.

Notizen: Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit untersucht die Stabilität der Querbewegungen eines eingespannten, achsial pulsierend belasteten Stabes. Zu dem Zweck wird abhängig von Frequenz und Amplitude untersucht, ob bei einer beliebigen Anfangsstörung die Querbewegung unbegrenzte Amplituden annehmen kann oder nicht. In Ermangelung eines geeigneten Ansatzes wird eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung zugrunde gelegt. Die rechnerische Behandlung wird über ein Variationsproblem durchgeführt, wobei das Variationsproblem durch einen Rits-Ansatz mit zeitabhängigen Koeffizienten genähert gelöst wird. Das auf diesem Wege entstehende gewöhnliche Differentialgleichungssystem mit periodischen Koeffizienten kann als Verallgemeinerung der Mathieuschen Differentialgleichung angesehen werden und dient zur Beurteilung der Stabilität. Sieht man von der Dämpfung zunächst ab, so kann mit der allgemeinen Theorie von E. Mettler Grenzkurven in der (δ, ɛ)-Ebene berechnen, welche diejenigen zusammengehörigen Werte von Frequenz und Amplitude einschließen, die zu instabilen Bewegungsformen führen können. Um auch die Dämpfung und einige bisher ausgeschlossene Sonderfälle in die Betrachtung einzubeziehen, werden die zur Beurteilung der Stabilität dienenden charakteristischen Exponenten des Differentialgleichungssystems mit Hilfe unendlicher Determinanten unmittelbar berechnet, und daraus die Grenzkurven abgeleitet. Die Behandlung des Problems wird auf zwei verschiedenen Stufen der Näherung durchgeführt. Die bisher allein gebräuchliche erste Näherung unterdrückt den Resonanzfall völlig, gestattet aber einen vollständigen Überblick über die Erscheinungen. An Einzelbeispielen wird gezeigt, wie die verschärfte Theorie die Resonanzfrequenzen der Längsschwingungen berücksichtigt und zu weiteren Instabilitätsbereichen führt. Die Abgrenzung der Näherungen gegeneinander ergibt, daß die vereinfachte Theorie nur für extrem schlanke Stäbe zahlenmäßige Bedeutung hat. Für die technisch wichtigsten Instabilitätsbereiche des Stabes mit pulsierender Längslast ohne ruhenden Anteil werden sehr einfache Näherungsformeln angegeben, welche einen raschen Überblick über das Stabilitätsverhalten technischer Stäbe gestatten.

Notizen: 5. Zusammenfassung und Schlußbetrachtung Ausgehend von einer von L. Sobrero gegebenen Darstellung des Zusammenhanges einer hyperkomplexen Algebra mit der Aufgabe der ebenen Elastizitätstheorie “wurden für den ebenen Spannungszustand einer Scheibe aus einer hyperkomplexen Funktion die allgemeinen Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen abgeleitet. Die weitgehende Analogie zur komplexen Potentialtheorie in Verbindung mit einem erweiterten Spiegelungsverfahren erleichtert erheblich das Verständnis der Zusammenhänge im Hyperkomplexen. Die durchgeführten Anwendungsbeispiele machen die sich damit bietenden Vorteile gegenüber den in der Einleitung genannten Methoden deutlich, wie ein Vergleich mit den aus dem Schrifttum bekannten Lösungen zeigt. Bei den untersuchten Belastungsfällen handelt es sich vorwiegend um Randwertprobleme erster Art. Diese sind dadurch gekennzeichnet, daß der Scheibenrand spannungsfrei ist (sofern nicht an Randpunkten Kräfte angreifen). Zur Ermittlung des Spannungszustandes werden bei der hyperkomplexen Theorie der Einfluß der an den Scheiben angreifenden Kräfte wie auch die Bedingung der vorgeschriebenen Spannungsfreiheit des Randes durch Singularitäten dargestellt. Mit der Auffindung der hyperkomplexen Spannungsfunktion, die eine besonders geschlossene Lösungsform liefert, ist die Aufgabe gelöst;

Notizen: Zusammenfassung Die Untersuchungsergebnisse zeigen, wie man durch kontinuierliches Absaugen die im Druckanstiegsgebiet des Tragflügels vorhandene Umschlagsgefahr beseitigen kann. Ermöglicht werden dadurch weitgehend laminare Grenzschichten bei großen Reynoldsschen Zahlen und, wie weitere Rechnungen 1 ergaben, auch bei hohen Auftriebsbeiwerten und Dickenverhältnissen. Eine Dosierung der Sauggeschwindigkeit über der Profilkontur (gemäß der Optimalverteilung) bringt gegenüber der homogenen Absaugung Mengen- und Leistungsersparnis mit sich. Besonders geringe Absaugmengen benötigt man bei Profilen mit großer Dickenrücklage.

Notizen: Zusammenfassung Es wird ein Rechenverfahren angegeben für die theoretische Ermittlung der Strömungsverluste eines ebenen Schaufelgitters in inkompressibler Strömung. Diese Aufgabe zerfällt in die folgenden drei Teilaufgaben: 1. Ermittlung der Druckverteilung an der Schaufel in reibungsloser Strömung; 2. Berechnung der Grenzschicht längs der Schaufelkontur; 3. Berechnung der Nachlaufströmung hinter der Schaufel. Für die Lösung der ersten Teilaufgabe wird ein bequemes Verfahren mitgeteilt, das eine Verallgemeinerung der Glauertschen Theorie der dünnen Profile darstellt. Der Arbeitsaufwand zur Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung und der Schaufelkontur beträgt für ein Gitter und für einen Zuströmwinkel etwa drei Stunden. Die Kenntnis der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung ermöglicht die Durchführung einer Grenzschichtrechnung längs der Schaufelkontur, wobei die Grenzschichtgrößen an der Hinterkante der Schaufel erhalten werden. Die Berechung des Energieverlustes im Gitter sowie die Änderung der Austrittsströmung gegenüber der reibungsfreien Strömung wird auf die Grenzschichtgrößen an der Schaufelhinterkante zurückgeführt. Der Arbeitsaufwand für diese Ermittlung einschließlich der Grenzschichtrechnung beträgt ebenfalls etwa drei Stunden pro Gitter und pro Anstellwinkel. An einigen Beispielen von Verzögerungs-, Beschleunigungs- und Gleichdruckgittern wird die Ermittlung der Geschwindigkeitsverteilung und der Verlustgrößen durchgeführt. Dabei zeigt sich der entscheidende Vorteil des Beschleunigungsgitters gegenüber dem Verzögerungsgitter in wesentlich geringeren Verlustbeiwerten.

Notizen: Zusammenfassung Es wird über Druckverteilungsmessungen an Pfeilflügeln konstanter Tiefe mit den Pfeilungen ϕ=0, 15, 30 und 45

Notizen: Zusammenfassung Behandelt wurde das Problem der auf dem Halbraum aufliegenden, achsensymmetrisch belasteten dicken Kreisplatte. Unter Zugrundelegung der Hockeschen Gesetze und der Annahme des stetigen Kontaktes bei vollkommen glatter BerührungsflÄche wurden für den Spannungs- und Verformungszustand Lösungen hergeleitet, die mit Ausnahme der Radialspannung am Plattenmantel sÄmtlichen Randbedingungen genügen. Dieser Randbedingung wurde nach dem de Saint- Venantschen Prinzip in der Weise gerecht, indem das aus den Restspannungen hervorgehende Moment und die Einzelkraft am Plattenmantel im umgekehrten Sinne als Last angebracht wurde. Die Entwicklungskoeffizienten der Lösungen für die Platte ergeben sich aus einem unendlichen, linearen Gleichungssystem, dessen Auflösbarkeit nachgewiesen und für die höheren Koeffizienten eine NÄherungsauflösung gegeben wurde.

Notizen: Zusammenfassung Das angenäherte Verfahren erlaubt nicht nur eine ausführliche Analyse der dreidimensionalen Strömung im Übergangsraum der schnellaufenden Wasserturbinen, sondern auch eine rechnerische Ermittlung der Form des Nabentotwassers. Aus dem Vergleich der errechneten und der gemessenen Geschwindigkeiten folgt, daß die nach dem angenäherten Verfahren errechneten Strömungen im Turbinenhohlraum mit den wirklichen Strömungen völlig übereinstimmen. Es ist also durchaus möglich, die angenäherte Methode statt einer exakten Analyse für die Ermittlung der Strömung im Übergangsraum der Wasserturbinen anzuwenden und dadurch die Rechenarbeit ohne Einbuße an Genauigkeit wesentlich zu verkürzen. Es ist einleuchtend, daß der Anwendung dieses Verfahrens zur Berechnung anderer Strömungsmaschinen (Gebläse, Pumpen usw.) nichts im Wege steht.

Notizen: 8. Zusammenfassung und eine Schlußbemerkung In einer vorangehenden Mitteilung 1 wurde das Problem der achsensymmet isch belasteten dicken Kreisplatte auf elastischer Unterlage untersucht und unter Vernachlässigung der zwischen Platte und Unterlage auftretenden Reibungskräfte die Lösung angegeben. Die vorliegende Mitteilung greift noch einmal dasselbe Problem auf unter Berücksichtigung der erwähnten Kräfte. Auch in diesem Falle führt das Randwertproblem auf ein — präziser gesagt zwei — Systeme von linearen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Das unendliche Gleichungssystem ist das Charakterstische für den Spannungs- und Deformationszustand einer auf dem Halbraum aufliegenden dicken Kreisplatte, während z. B. bei fester Einspannung die Koeffizienten in den Verschiebungsfunktionen sich direkt berechnen lassen, worauf hier abschließend hingewiesen wurde. Zum Abschluß noch eine Bemerkung: Den Randbedingungen (7), (8) und (9) liegen die Voraussetzungen zugrunde, daß zwischen Platte und Unterlage eine stetige Berührung besteht, was offenbar nur solange zutrifft, bis zwischen ihnen Druckkräfte auftreten; dies wird bei den üblichen Belastungsarten meistens der Fall sein. Bei gewissen — in der Praxis allerdings kaum auftretenden — Belastungen kann es vorkommen, daß in einem bestimmten, meist schmalen, am Rande gelegenen oder achsennahen Bereich neben den Druckkräften auch Zugspannungen auftreten, und das bedeutet in Wirklichkeit, daß die Platte sich von der Unterlage abhebt. Für die Praxis heißt ein solches Resultat, die Belastung so zu ändern, daß kein Zugbereich auftritt. Aus diesem Grunde hat es wenig praktisches Interesse, die einem solchen Fall entsprechenden wirklichen Spannungs- und Deformationsgleichungen zu ermitteln, was mit Hilfe einer „Iteration“ prinzipiell möglich wäre.

Notizen: Zusammenfassung und Schluß Die turbulente Grenzschicht läßt sich vorteilhaft in zwei Gebiete aufspalten (Abb. 1), welche in einem gemeinsamen Zwischengebiet (δ w ≦ y≪δ) aneinander anschließen. Im äußeren Gebiet (y ≥δ w) hängt das Geschwindigkeitsprofil im wesentlichen nur von der Geschwindigkeitsverteilung U 1 am Außenrand ab und läßt sich näherungsweise als eine der Schubspannungsgeschwindigkeit ν * = √τ0/ϱ proportionale Funktion darstellen, ist aber sonst von der Zähigkeit und den Vorgängen an der Wand unabhängig. Im wandnahen Teil (0 ≦ y ≪ δ) ist das Geschwindigkeitsprofil durch die Zähigkeit und die Wandrauhigkeit bedingt, aber vom Geschwindigkeitsverlauf der Außenströmung nur indirekt über den Parameter ν * abhängig. Im Zwischengebiet herrscht ein universelles Strömungsgesetz, das nur von ν * abhängt, aber sowohl von der Wandrauhigkeit und Zähigkeit, als auch von der Außenströmung unbeeinlußt ist. Unter Berücksichtigung dieser Erkenntnis liefert die Auswertung vorliegenden Versuchsmaterials empirisch die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Größen, die mit den angegebenen Integralsätzen für das Impuls- und Energiegleichgewicht zur angenäherten Berechnung turbulenter Grenzschichten dienen können. Ein hierauf aufgebautes Berechnungsverfahren bietet gegenüber den bisher bekannt gewordenen Verfahren den Vorteil einer zuverlässigeren Bestimmung des Reibungsbeiwertes in Abhängigkeit von der Reynoldszahl und dem vorgegebenen Geschwindigkeitsverlauf, sowie der Anwendbarkeit bei rauhen Wänden. Die Geschwindigkeitsprofile sind dabei zweiparametrig, da an den einparametrig vorausgesetzten äußeren Teil (4,1) je nach der vorhandenen Reynoldszahl ein Wandgesetz (3,3) angepaßt wird. Für die praktische Durchführung von Grenzschicatrechnungen ist es notwendig, die gegebenen Zusammenhänge in eine bequemere Darstellung zu. bringen, was ohne Schwierigkeit möglich ist.

Notizen: Zusammenfassung Mit Hilfe des Tensorkalküls wird ein sehr allgemeiner Ansatz für ein Stoffgesetz zähelastischer, isotroper Medien gemacht, in dem die bekannten Stoffgesetze als Sonderfälle enthalten sind. Näher behandelt wird die linearisierte Form der Tensorrelation. Die Wellengleichung zähelastischer Stoffe wird entwickelt und für Planwellen weiter behandelt. Die Scherungs- und Kompressionswelle werden diskutiert.

Notizen: Zusammenfassung Das Variationsproblem vom Minimum der potentiellen Energie, das wir für achsensymmetrische Schalen unter achsensymmetrischer Belastung aufgestellt haben, können wir nach den in der analytischen Mechanik gebräuchlichen Methoden in ein kanonisches Variationsproblem transformieren und hieraus die kanonischen Gleichungen für den Biegespannungszust and herleiten. Da man ein Integral dieses Differentialgleichungssystems angeben kann — es ist nämlich die Komponente der resultierenden Schnittkraft parallel zur Schalenachse das Integral der Belastungskomponente in dieser Richtung —, können wir eine zyklische Koordinate einführen und das ursprüngliche kanonische Gleichungssystem von sechs linearen Differentialgleichungen erster Ordnung auf eins mit nur vier Differentialgleichungen transformieren. In den Koeffizienten dieser Differentialgleichungen tauchen nur die ersten Ableitungen der Baugrößen — Schalendicke und Meridian der Schale — auf. Zur Integration machen wir uns die Vorteile zunutze, die sich aus der Theorie linearer kanonischer Differentialgleichungssysteme erster Ordnung ergeben. Für Schalen, deren Meridianneigung gegen die Schalenachse nicht allzu steil ist, können wir eine die Integration sehr vereinfachende Verkürzung des Gleichungssystems treffen. Setzen wir außerdem zunächst die Querkontraktionsziffer und die relative Änderung der Schalendicke gleich null, so ergibt sich eine wohl in den meisten Fällen schon recht brauchbare Näherungslösung, die sehr einfach zu ermitteln ist, da man zur Kenntnis eines Hauptsystems von vier Lösungen der homogenen Gleichungen nur deren zwei zu berechnen braucht. Die durch die letzte Vernachlässigung gestrichenen Glieder können dann durch eine Störungsrechnung für eine Verbesserung dieser ersten Näherungslösung wieder berücksichtigt werden. Ein entsprechendes Integrationsverfahren ist im letzten Abschnitt für die flache Schale angegeben worden. Durch die Streichung von zwei Gliedern zerfällt das ursprüngliche Gleichungs-system in zwei unabhängige, kanonische Systeme von je 2 Gleichungen. Mit den weggestrichenen Gliedern, die die beiden Systeme koppeln, wird eine Störungsrechnung durchgeführt, die die zunächst erhaltenen Lösungen verbessert. Die Partikularlösungen für den jeweiligen Belastungszustand der Schale lassen sich aus dem kanonisch konjugierten System von Grundlösungen sehr einfach nach der Methode der Variation der Konstanten berechnen.

Notizen: Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Berechnung der Profilform (Profiltropfen, Skelettlinie und dazugehöriger Anstellwinkel) aus einer vorgegebenen Geschwindigkeitsverteilung an der Profiloberfläche mitgeteilt. Das Problem wird zurückgeführt auf die Auswertung einfacher Summenformeln, in denen jeweils nur die Produkte des Geschwindigkeitsbetrages an gewissen festen Stellen der Sehnenachse mit gewissen festen ein für allemal berechneten Konstanten auftreten.

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