ISSN:
1618-1891
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Mathematics
Description / Table of Contents:
Résumé Dans cet article nous montrons l'existence d'(au moins) une solution de l'inéquation variationnelle (*) $$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {u \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), u \geqslant \psi p.p. dans \Omega ,} \\ {\langle A(u),\upsilon - u\rangle + \int\limits_\Omega {{\rm H}(x,u,Du)(\upsilon - u) \geqslant 0,} } \\ {\forall \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), \upsilon \geqslant \psi p.p. dans \Omega ,} \\ \end{array} } \right.$$ où A est un opérateur de type Leray-Lions défini sur W o 1,p (Ω), à valeurs dans W−1,p′(Ω) et où la croissance de H est au plus en ¦Du¦p. L'obstacle ψ est une fonction mesurable à valeurs dans〉 $$\bar R$$ , la seule hypothèse étant que le convexe $$\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi p.p. dans \Omega \} $$ n'est pas vide: ainsi le cas ψ=−∞ (qui correspond aucas ou (*) est une équation) est également traité. Enfin il n'y a aucune hypothèse de régularité sur les données: Ω est un ouvert borné deR n, et A et H sont définis à partir de fonctions de Carathéodory.
Abstract:
Sunto In questo lavoro si prova un risultato di esistenza di soluzioni délia disequazione variazionale (*) $$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {u \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), u \geqslant \psi q.o. in \Omega ,} \\ {\langle A(u),\upsilon - u\rangle + \int\limits_\Omega {{\rm H}(x,u,Du)(\upsilon - u) \geqslant 0,} } \\ {\forall \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), \upsilon \geqslant \psi q.o. in \Omega ,} \\ \end{array} } \right.$$ dove A é un operatore del lipo di Leray-Lions difinito suW 0 1,v (Ω) e a valori inW 1,v (Ω), e H é una funzione de Carathéodory che cresce al piú come |Du| v . La sola ipotesi che si fa su ψ é che $$\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi q.o. in \Omega \} \ne 0/$$ ; ψ é una funzione misurable a valori in $$\bar R$$ : questo permette ψ=−∞ e in tal caso (*) diventa una equazione. In fine, non viene fatta nessuna ipotesi di regolarita sui dati: Ω é un aperto limitato diR N ed A e H sono definiti a patire da funzioni di Caratheodory.
Notes:
Summary This paper proves the existence of (at least) one solution of the following variational inequality: (*) $$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {u \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), u \geqslant \psi a.e. in \Omega ,} \\ {\langle A(u),\upsilon - u\rangle + \int\limits_\Omega {{\rm H}(x,u,Du)(\upsilon - u) \geqslant 0,} } \\ {\forall \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ), u \geqslant \psi a.e. in \Omega .} \\ \end{array} } \right.$$ Here A is an operator of Leray-Lions type acting from W 0 1,p (Ω) into W−1,p′(Ω) and H grows like ¦Du¦p. The obstacle ψ is a measurable function with values in $$\bar R$$ , the only hypothesis being $$\{ \upsilon \in W_0^{1,v} (\Omega ) \cap L^\infty (\Omega ):\upsilon \geqslant \psi a.e in \Omega \} \ne 0/$$ . This allows ψ to be −∞, recovering the case where (*) is an equation. Finally there is no smoothness assumptions on the data: Ω is a bounded open set inR N , A and H are defined from Carathéodory functions.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01766148
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