ALBERT

Description / Table of Contents: Inhaltsverzeichnis: 1. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen. - Lineare Gleichungen und lineare Transformationen. - Vektoren. - Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit. - Lineare Transformationen, Matrizen. - Bilinearformen, quadratische und hermitesche Formen. - Orthogonale und unitäre Transformationen. - Lineare Transformationen mit linearem Parameter. - Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen. - Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines Maximumprinzips. - Charakteristische Zahlen und Eigenwerte. - Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen. - Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. - Darstellung der Resolvente einer Form. - Lösung des zu einer Form gehörigen linearen Gleichungssystems. - Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum-Maximumproblem. - Anwendungen. - Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel. - Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante. - Determinantenabschätzung von Hadamard. - Simultane Transformation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt. - Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Variablen. - Unendlich kleine lineare Transformationen. - Variierte Systeme. - Die Auferlegung einer Bindung. - Elementarteiler einer Matrix oder einer Bilinearform. - Spektrum einer unitären Matrix. - Literatur zum ersten Kapitel. - 2. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen. - Orthogonale Funktionensysteme. - Definitionen. - Orthogonalisierung von Funktionen. - Besselsche Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel. - Orthogonale und unitäre Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen. - Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraussetzungen. - Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variabeln. - Das Häufungsprinzip für Funktionen. - Konvergenz im Funktionenraum. - Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzahl. - Unabhängigkeitsmaß. - Asymptotische Dimensionenzahl einer Funktionenfolge. - Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. - Der Weierstraßsche Approximationssatz. - Ausdehnung des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen. - Gleichzeitige Approximation der Ableitungen. - Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen. - Die Fouriersche Reihe. - Beweis des Hauptsatzes. - Mehrfache Fouriersche Reihen. - Die Größenordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffizienten. - Streckung des Grundgebietes. - Einige Beispiele. - Das Fouriersche Integral. - Beweis des Hauptsatzes. - Ausdehnung des Resultates auf mehr Variable. - Reziprozitätsformeln. - Beispiele für das Fouriersche Integral. - Die Polynome von Legendre. - Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1, x, x2. - Die erzeugende Funktion. - Weitere Eigenschaften. - Beispiele anderer Orthogonalsysteme. - Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden Fragestellung. - Die Tschebyscheffschen Polynome. - Die Jacobischen Polynome. - Die Hermiteschen Polynome. - Die Laguerreschen Polynome. - Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome. - Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel. - Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems. - Reziprozitätsformeln. - Fouriersches Integral und mittlere Konvergenz. - Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe und Fouriersches Integral. - Dichte Funktionensysteme. - Ein Satz von H. MÜNTZ über die Vollständigkeit von Potenzen. - Der Fejersche Summationssatz. - Die Mellinschen Umkehrformeln. - Das Gibbssche Phänomen. - Ein Satz über die Gramsche Determinante. - Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes. - Literatur zum zweiten Kapitel. - 3. Theorie der linearen Integralgleichungen. - Vorbereitende Betrachtungen. - Bezeichnungen und Grundbegriffe. - Quellenmäßig dargestellte Funktionen. - Ausgeartete Kerne. - Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne. - Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern. - Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte. - Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern. - Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte. - Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen. - Der Entwicklungssatz. - Auflösung der inhomogenen linearen Integralgleichung. - Die Bilinearformel für die iterierten Kerne. - Der Mercersche Satz. - Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern. - Die Fredholmschen Formeln. - Neubegründung der Theorie. - Ein Hilfssatz. - Die. Eigenfunktionen eines symmetrischen Kernes. - Unsymmetrische Kerne. - Stetige Abhängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen vom Kern. - Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie. - Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel. - Beispiele. - Singuläre Integralgleichungen. - Methode von E. SCHMIDT zur Herleitung der Sätze von FREDHOLM. - Methode von ENSKOG zur Auflösung symmetrischer Integralgleichungen. - Methode von KELLOGG zur Bestimmung von Eigenfunktionen. - Symbolische Funktionen eines Kerns und ihre Eigenwerte. - Beispiel eines unsymmetrischen Kerns ohne Nullösungen . - Volterrasche Integralgleichungen. - Abelsche Integralgleichung. - Die zu einem unsymmetrischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme. - Integralgleichungen erster Art. - Die Methode der unendlich vielen Variablen. - Minimumeigenschaften der Eigenfunktionen. - Polare Integralgleichungen. - Symmetrisierbare Kerne. - Bestimmung des lösenden Kernes durch Funktionalgleichungen. - Die Stetigkeit der definiten Kerne. - Satz von HAMMERSTEIN. - Literatur zum dritten Kapitel. - 4. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung. - Die Problemstellung der Variationsrechnung. - Maxima und Minima von Funktionen. - Funktionenfunktionen. - Die typischen Probleme der Variationsrechnung. - Die charakteristischen Schwierigkeiten der Variationsrechnung. - Ansätze zur direkten Lösung. - Isoperimetrisches Problem. - Das Ritzsche Verfahren. Minimalfolgen. - Weitere direkte Methoden. Differenzenverfahren. Unendlich viele Veränderliche. - Prinzipielles über die direkten Methoden der Variationsrechnung. - Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung. - Das einfachste Problem der Variationsrechnung. - Mehrere gesuchte Funktionen. - Auftreten höherer Ableitungen. - Mehrere unabhängige Variable. - Identisches Verschwindendes Eulerschen Differentialausdruckes. Divergenzausdrücke. - Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichungen. - Variationsprobleme mit Erweiterung der Zulassungsbedingungen. Sätze von DU BOIS-REYMOND und HAAR. - Andere Variationsprobleme und ihre Funktionalgleichungen. - Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung. - Randbedingungen. - Natürliche Randbedingungen bei freien Rändern. - Geometrische Probleme. Transversalität. - Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung. - Variationsprobleme mit Nebenbedingungen. - Isoperimetrische Probleme. - Endliche Bedingungsgleichungen. - Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. - Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen. - Der Eulersche Ausdruck als Gradient im Funktionenraume. Invarianz des Eulerschen Ausdruckes. - Transformationen von A u. Polarkoordinaten. - Elliptische Koordinaten. - Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt. - Transformation bei gewöhnlichen Minimumproblemen mit Nebenbedingungen. - Die involutorische Transformation der einfachsten Variationsprobleme. - Die Transformation des Variationsproblems in die kanonische Gestalt. - Verallgemeinerungen. - Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik. - Allgemeines. - Schwingende Saite (Seil) und schwingender Stab. - Membran und Platte. - Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel. - Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung. - Reziprozität bei isoperimetrischen Problemen. - Kreisförmige Lichtstrahlen. - Das Problem der Dido. - Beispiel eines räumlichen Problems. - Das isoperimetrische Problem auf einer krummen Fläche. - Die Indikatrix und ihre Anwendungen. - Variation bei veränderlichem Gebiet. - Die Sätze von E. NOETHER über invariante Variationsprobleme. Integrale in der Punktmechanik. - Transversalität bei mehrfachen Integralen. - Eulersche Differentialausdrücke auf krummen Flächen. - Das Thomsonsche Prinzip der Elektrostatik. - Gleichgewichtsprobleme beim elastischen Körper. Prinzip von Castigliano. - Das Prinzip von Castigliano in der Balkentheorie. - Das Variationsproblem der Knickung. - Literatur zum vierten Kapitel. - 5. Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik. - Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen. - Allgemeines. Das Superpositionsprinzip. - Homogene und unhomogene Probleme. Randbedingungen. - Formale Beziehungen. Adjungierte Differentialausdrücke. Greensche Formeln. - Lineare Funktionalgleichungen als Grenzfälle und Analoga von Systemen linearer Gleichungen. - Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden. - Hauptschwingungen. Normalkoordinaten. Allgemeine Theorie des Bewegungsvorganges. - Allgemeine Eigenschaften der schwingenden Systeme. - Die schwingende Saite. - Freie Bewegungen der homogenen Saite. - Erzwungene Bewegungen. - Die allgemeine unhomogene Saite und das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem. - Der schwingende Stab. - Die schwingende Membran. - Das allgemeine Eigenwertproblem der homogenen Membran. - Erzwungene Bewegungen. - Knotenlinien. - Rechteckige Membran. - Kreisförmige Membran. Besselsche Funktionen. - Die unhomogene Membran. - Die schwingende Platte. - Allgemeines. - Kreisförmige Begrenzung. - Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen. - Die Methode bei Schwingungs- und Gleichgewichtsproblemen. - Wärmeleitung und Eigenwertprobleme. - Sonstiges Auftreten von Eigenwertproblemen. - Schwingungen dreidimensionaler Kontinua. - Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen. - Kreis, Kugel, Kugelschale. - Zylindrisches Gebiet. - Das Lamesche Problem. - Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singuläre Randpunkte. - Besselsche Funktionen. - Legendresche Funktionen beliebiger Ordnung. - Jacobische und Tschebyscheffsche Polynome. - Hermitesche und Laguerresche Polynome. - Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen. - Beschränktheit bei unendlich anwachsender unabhängiger Variabler. - Verschärfung des Resultates (Besselsche Funktionen). - Beschränktheit bei wachsendem Parameter. - Asymptotische Darstellung der Lösungen. - Asymptotische Darstellung der Sturm-Liouvilleschen Eigenfunktionen. - Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum. - Die trigonometrischen Funktionen. - Die Besselschen Funktionen. - Das Eigenwertproblem der Schwingungsgleichung für die unendliche Ebene. - Das Schrödingersche Eigenwertproblem. - Störungsrechnung. - Einfache Eigenwerte. - Mehrfache Eigenwerte. - Ein Beispiel zur Störungstheorie. - Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen. - Die Greensche Funktion und das Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen. - Die Konstruktion der Greenschen Funktion und die Greensche Funktion im erweiterten Sinne. - Äquivalenz von Differentialgleichungs- und Integralgleichungsproblem. - Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Partielle Differentialgleichungen. - Beispiele für Greensche Funktionen. - Gewöhnliche Differentialgleichungen. - Greensche Funktion von [Delta]u für Kreis und Kugel. - Greensche Funktion und konforme Abbildung. - Die Greensche Funktion der Potentialgleichung für eine Kugeloberfläche. - Die Greensche Funktion der Gleichung [Delta]u = 0 für ein Rechtflach. - Die Greensche Funktion von [Delta]u für das Innere eines Rechtecks. - Die Greensche Funktion für einen Kreisring. - Ergänzungen zum fünften Kapitel. - Beispiele zur schwingenden Saite. - Schwingungen des frei herabhängenden Seils und Besselsche Funktionen. - WeitereBeispiele für explizit lösbare Fälle der Schwingungsgleichung. Funktionenvon MATHIEU. - Parameter in den Randbedingungen. - Greensche Tensoren für Differentialgleichungssysteme. - Analytische Fortsetzung der Lösungen der Gleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0. - Ein Satz über die Knotenlinien der Lösungen von [Delta]u + [Lambda]u = 0. - Beispiel für einen Eigenwert unendlich hoher Ordnung. - Grenzen für die Gültigkeit der Entwicklungssätze. - Literatur zum fünften Kapitel. - 6. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme. - Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - Die klassischen Extremumseigenschaften. - Ergänzungen und Verallgemeinerungen. - Eigenwertprobleme für Bereiche mit getrennten Bestandteilen. - Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - Allgemeine Sätze. - Das unendliche Anwachsen der Eigenwerte. - Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte beim Sturm-Liouvilleschen Problem. - Singuläre Differentialgleichungen. - Weitere Bemerkungen über das Anwachsen der Eigenwerte. Auftreten negativer Eigenwerte. - Stetigkeitseigenschaften der Eigenwerte. - Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz. - Die Vollständigkeit der Eigenfunktionen. - Der Entwicklungssatz. - Verschärfung des Entwicklungssatzes. - Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte. - Die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 für ein Rechteck. - Die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 bei Gebieten, welche aus endlich vielen Quadraten oder Würfeln bestehen. - Ausdehnung des Resultates auf die allgemeine Differentialgleichung L[u] + [Lambda Rho]u = 0. - Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für einen beliebigen Bereich. - Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 in verschärfter Form. - Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus. - Die Knoten der Eigenfunktionen. - Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel. - Ableitung der Minimumeigenschaften der Eigenwerte aus ihrer Vollständigkeit. - Charakterisierung der ersten Eigenfunktion durch ihre Nullstellenfreiheit. - Andere Minimumeigenschaften der Eigenwerte. - Asymptotische Eigenwertverteilung bei der schwingenden Platte. - 5. bis 7. Aufgaben. - Parameter in den Randbedingungen. - Eigenwertprobleme für geschlossene Flächen. - Eigenwertabschätzungen beim Auftreten von singulären Punkten. - Minimumsätze für Membran und Platte. - Minimumprobleme bei variabler Massenverteilung. - Knotenpunkte beim Sturm-Liouvilleschen Problem und Maximum-Minimum-Prinzip. - Literatur zum sechsten Kapitel. - 7. Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen. - Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Die Besselschen Funktionen. - Durchführung der Integraltransformation. - Die Hankelschen Funktionen. - Die Besselschen und Neumannschen Funktionen. - Integraldarstellungen der Besselschen Funktionen. - Eine andere Integraldarstellung der Hankeischen und Besselschen Funktionen. - Potenzreihenentwicklung der Besselschen Funktionen. - Relationen zwischen den Besselschen Funktionen. - Die Nullstellen der Besselschen Funktionen. - Die Neumannschen Funktionen. - Die Kugelfunktionen von Legendre. - Das Schläflische Integral. - Die Integraldarstellungen von Laplace. - Die Legendreschen Funktionen zweiter Art . - Zugeordnete Kugelfunktionen (Legendresche Funktionen höherer Ordnung). - Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen, Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialgleichungen. - Legendresche Funktionen. - Die Tschebyscheffschen Funktionen. - Die Hermiteschen Funktionen. - Die Laguerreschen Funktionen. - Die Kugelfunktionen von Laplace. - Aufstellung von 2n + 1 Kugelfunktionen n ter Ordnung. - Vollständigkeit des gewonnenen Funktionensystems. - Der Entwicklungssatz. - Das Poissonsche Integral. - Die Maxwell-Sylvestersche Darstellung der Kugelfunktionen. - Asymptotische Entwicklungen. - Die Stirlingsche Formel. - Asymptotische Berechnung der Hankelschen und Besselschen Funktionen für große Argumente. - Sattelpunktmethode. - Anwendung der Sattelpunktmethode zur Berechnung der Hankelschen und Besselschen Funktionen bei großem Parameter und großem Argument. - AllgemeineBemerkungen über die Sattelpunktmethode. - Methode von DARBOUX. - Anwendung der Darbouxschen Methode zur asymptotischen Entwicklung der Legendreschen Polynome. - Sachverzeichnis. - Kurzbiographien.