ISSN:
1432-1823
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Mathematics
Notes:
Zusammenfassung 1. Nach einem bekannten Satz1) sind (eindeutige) reelle Funktionenf ν(x 1, ...,x n ), ν=1, ...,n, in der abgeschlossenen Hülle $$\mathfrak{D}$$ einer kompakten, offenen Punktmenge $$\mathfrak{D}$$ abhängig, wenn sie [Vor. (1)] überall in $$\mathfrak{D}$$ differenzierbar sind und wenn [Vor. (2)] die FunktionaldeterminanteJ derf ν überall in $$\mathfrak{D}$$ verschwindet. Umgekehrt folgt aus der Abhängigkeit derf ν, daβJ=0 ist überall in $$\mathfrak{D}$$ , falls man dief ν alsstetig differenzierbar in $$\mathfrak{D}$$ voraussetzt [Vor. (1′)]. Ausgangspunkt der nachstehenden Bemerkung sind die folgenden, wie es scheint noch nicht hervorgehobenen Feststellungen: Es bleibt der eingangs genannteSatz richtig auch bei Ersetzung der Vor. (2) durch dieschwächere Forderung, daßJ fast überall Null sei in $$\mathfrak{D}$$ . Ferner bleibt die erwähnteUmkehrung richtig auch bei Ersetzung der Vor. (1′) durch die etwasschwächere Forderung, daß dief ν überall in $$\mathfrak{D}$$ lediglich differenzierbar seien unddaß |J|unterhalb stetig sei auf dem Rand von $$\mathfrak{D}$$ . Schließlich genügt es, im Satz und seiner Umkehrung dief ν als “in bezug auf Abhängigkeit” (kurz:i. b. a. A.) “im wesentlichen” differenzierbar in $$\mathfrak{D}$$ vorauszusetzen, d. h. anzunehmen, daß die Menge der PunkteX=(x 1, ...,x n ), in welchen nicht sämtlichef ν in $$\mathfrak{D}$$ differenzierbar sind, vermöge der durch dief ν definierten AbbildungP′=f(P) eine Nullmenge als Bild besitzt (vgl. Nr. 4. 2). — Übrigens istjede in $$\mathfrak{D}$$ i. b. a. A. im wesentlichen differenzierbare Abbildung meßbar (vgl. Nr. 4. 2). —Beispiele von i. b. a. A. im wesentlichen differenzierbaren Funktionen werden geliefert durch dieFunktionen von beschränkter Dehnung; für diese ist somit das (verschärfte) Abhängigkeitskriterium anwendbar (vgl. Nr. 4. 3). Auf den Fall der Abhängigkeit vonk Funktionen inn Veränderlichen mitn≠k hoffen wir später zurückzukommen. 2. Der Beweis des in Nr. 1. 1. angegebenen Abhängigkeitskriteriums benutzt von Eigenschaften differenzierbarer Abbildungen lediglich die, daβ die Funktionaldeterminante (existiert und) ihrem Betrage nach gleich ist der lokalen Volumverzerrung der Abbildung (wenigstens in den inneren Punkten von $$\mathfrak{D}$$ (vgl. Nr. 4. 1. 1.)). Dementsprechend läβt sich die Forderung, die Abbildung solle im wesentlichen differenzierbar sein, abschwächen zur Forderung, daβ die Abbildung „i. b. a. A. im wesentlichen” endliche, lokale (untere) Volumverzerrung besitze (vgl. Nr. 3. 2). Die hiermit angedeutete Verallgemeinerung des Abhängigkeitssatzes ergibt sich ihrerseits aus allgemeinen Aussagen über eindeutige stetige Abbildungen. Diese Aussagen sind, wie wir bemerkten, der Hauptsache nach schon in Sätzen von HerrnRademacher2) enthalten. Dabei werden die betrachteten Abbildungen von HerrnRademacher allerdings als umkehrbar-eindeutig vorausgesetzt; aber seine Beweise für die von uns benutzten Tatsachen gelten auch für eindeutige Abbildungen. Es mag daher gerechtfertigt erscheinen, wenn wir nachstehend (Nr. 2. 2 und 2. 4) die hiernach einschlägigen Sätze nochmals (mit Beweisen) zusammenstellen. 3. Bei den vorstehend referierten Betrachtungen handelt es sich ausschlieβlich um Abbildungen eines euklidischen Raumes in einen (gleichdimensionalen) euklidischen Raum. Verallgemeinerungen auf Abbildungen abstrakter Räume werden am Schlusse (Nr. 5. 1 ff.) angedeutet.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01312439
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