Existence and uniqueness of inclusion isotonic centered ball extensions

Abstract

Let be$G \subseteq \mathbb{R}^n$. A ball with centerx and radiusr is denoted by (x, r). The set of all balls contained inG is writtenK(G). AnalogousK (ℝⁿ) is defined. For a given functionf:G→ℝ^m isF:K(G) →K (ℝ^m) a centered ball extension if the restriction on balls with radius 0 isf, and the center of the ballF(x, r) is equal tof(x). It is called inclusion isotonic if$(x,r) \subseteq (y,s) \Rightarrow F(x,r) \subseteq F(y,s)$ is true. The problem of existence and uniqueness of inclusion isotonic centered ball extensions is treated. It is shown that if only one such an extension is existing, there exist arbitrary many ones, but one and only one “smallest” is given. Further, there are given sufficient conditions of existence and nonexistence. In the case that the domainG off is open sufficient and necessary conditions are found. Finally, some examples finish the paper.

Zusammenfassung

Es sei$G \subseteq \mathbb{R}^n$. Eine Kugel mit Mittelpunktx und Radiusr sei durch (x, r) bezeichnet. MitK(G) ist die Menge aller inG enthaltenen Kugeln gemeint. Entsprechend istK (ℝⁿ) zu verstehen. Zu einer gegebenen Funktionf:G→ℝ^m isF:K(G) →K (ℝ^m) eine zentrierte Kugel-Erweiterung, falls ihre Einschränkung auf Kugeln mit Radius 0 gleichf ist und falls der Mittelpunkt der KugelF(x, r) gleichf(x) ist. Sie heißt inklusionsisoton, falls$G \subseteq \mathbb{R}^n$ gilt. Es wird die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit von inklusionsisotonen zentrierten Kugel-Erweiterungen behandelt. Gezeigt wird, daß aus der Existenz einer solchen Erweiterung die Existenz von unendlich vielen folgt, daß es aber genau eine „kleinste” gibt. Weiter werden hinreichende Bedingungen für die Existenz und für die Nicht-Existenz hergeleitet. Für den Fall, daß der DefinitionsbereichG vonf offen ist, ergeben sich notwendige und hinreichende Bedingungen. Abschließen werden einige Beispiele angegeben.