Das Kriterium vonPlücker-Clebsch ist ein wichtiges Hilfsmittel der abzählenden Geometrie, das in vielen Fällen die Frage der Auflösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems auf kurzem Wege zu entscheiden vermag. Es ist vor allem das Verdienst,F. Severis, dieses Kriterium in seiner Bedeutung hervorgehoben, sein Anwendungsgebiet erweitert und den ersten strengen Beweis dafür geliefert zu haben (1933). In der Folge sind noch weitere Beweise, besonders der vonB. L. van der Waerden bekannt geworden (1935). Neben diesen bereits bekannten Beweisen dürfte es nicht überflüssig erscheinen, den nachfolgenden Beweis zu veröffentlichen, weil er mit rein idealtheoretischen Gedankengängen aufgebaut ist und nebenbei einige interessante Ergebnisse für die Theorie der Polynomideale abwirft.
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References
F. Severi, Lezioni di Analisi, Bologna 1941, 1. Bd., 409–413; vgl. auchF. Severi, Grundlagen der abzählenden Geometrie, in der Sammlung Mathematische Forschung (herausgegeben vonW. Blaschke), Wolfenbüttel 1948. S. 52f.;F. Severi, Introduzione alla geometria algebrica, Geometria numerativa, Docet Rom, 1947, Kap. IV, § 2–3 (mit vielen Beispielen und Anwendungen).
A. Terracini, Sul criterio di Plücker-Clebsch, Rend. Accad. dei Lincei 1935.
B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Geometrie VI, Math. Ann.108 (1935), 137–143.
Vgl. etwaW. Gröbner, Moderne algebraische Geometrie, Wien 1949 (weiterhin zitiert mitG Nummer. Absatz.), oderB. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Bd. II, 1940 (W II § ...).
G.115.10, W II § 84.
Reduzierte Darstellung oder unverkürzbare Darstellung als Durchschnitt von endlich vielen größten Primärkomponenten. Vgl. dazu G126.15, W II § 87.
Dieser Satz ist ein Spezialfall des Hilfssatzes aus § 2 der oben erwähnten Arbeit vonvan der Waerden, welcher dort aus dem Hauptidealsatz vonW. Krull, Primidealketten in allg. Ringbereichen, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. 1928, 7. Abh., § 3 Hauptidealsatz, gewonnen wird. Vgl. auch G.137.11.
G.135.11. W II § 98 S 71.
Wir setzen dabeiK entsprechend algebraisch erweitert voraus, was keine Einschränkung der Allgemeinheit bedeutet. (Vgl. etwa W II § 98).
G.133.11. Vgl. auch W II § 95, S. 58.
Ein Polynom heißt regulär in bezug aufx n, wenn der Grad vonx n in dem Polynom > 0 ist und der Koeffizient der höchsten Potenz vonx n eine Konstante ≠0 ist. Vgl. etwa G114.7, 121.4, W II § 78, S. 3.
Weila n die Polynomex r+1, ..., xn enthält, werden die Teiler vona n eineindeutig und relationstreu auf die Teiler von\(\bar a\) abgebildet.
Zusatz bei der Korrektur: Die im zweiten Abschnitt gemachte Voraussetzung über die Charakteristik vonK kann man fallen lassen, wenn man etwa annimmt,K sei algebraisch abgeschlossen.
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Im mathematischen Seminar der Universität Innsbruck verfaßte Arbeit.
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Schmid, J. Ein idealtheoretischer Beweis des Kriteriums von Plücker-Clebsch. Monatshefte für Mathematik 55, 233–241 (1951). https://doi.org/10.1007/BF01318539
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01318539