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References
L. Löwenheim, Über Möglichkeiten im Relativkalkül, Math. Annalen76 (1915); Th. Skolem, Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalkuls ..., Videnskapsselskapets Skrifter. I. Math.-Nat. Klasse 1919, Nr. 3; H. Behmann, Beiträge zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungsproblem, Math. Annalen 86 (1922).
P. Bernays und M. Schönfinkel, Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik, Math. Annalen99 (1928).
W. Ackermann, Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke, Math. Annalen100 (1928).
J. Herbrand, Sur le problème fondamental de la logique mathématique, Compt. Rend. de la Soc. des Sc. et L. de Varsovie 1931.
K. Gödel, Ein Spezialfall des Entscheidungsproblems der theoretischen Logik, Ergebn. eines math. Kolloqu., Heft 2 (1932). Unabhängig hiervon ist dasselbe Problem auch von L. Kalmár gelöst in der Arbeit: “Über die Erfüllbarkeit derĵenigen Zählausdrücke, welche in der Normalform zwei benachbarte Allzeichen enthalten”, Math. Annalen108 (1933). Beide Abhandlungen sind mir jedoch erst nach Fertigstellung der vorliegenden Arbeit bekannt geworden.
Die erste dieser beiden Formeln ist der unter2) genannten Abhandlung von P. Bernays und M. Schönfinkel entnommen.
Das Σ-Symbol steht hier wie im folgenden stets für die mehrfache Konjunktion.
Siehe Fußnote. P. Bernays und M. Schönfinkel, Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik, Math. Annalen99 (1928).
Es handelt sich hier um den allgemeinen Fall des engeren Prädikatenkalkuls, da sich ja die Erfüllbarkeit einer jeden Formel desselben zurückführen läßt auf die Erfüllbarkeit einer solchen pränexen Normalform, in der sämtliche Allzeichen den Seinszeichen voranstehen.
Wir nennen eine Konjunktion immer dann widerspruchslos, wenn in ihr kein Ausdruok zugleich negiert und nichtnegiert auftritt.
Der Wahrheitswert eines zusammengesetzten Ausdrucks ist in der bekannten Weise zu errechnen, nach der z. B.A & B den Wert “wahr” hat, wenn sowohlA als auchB diesen Wert besitzen, sonst aber den Wert “falsch” hat.
Der Satz ist von J. Herbrand bewiesen in seiner Abhandlung: Recherches sur la théorie de la démonstration, Thèse de l'Univ. de Paris, 1930, oder Travaux de la Soc. des Sc. et L. de Varsovie 1930. Weitere Erklärungen und Anwendungen dieses Satzes hat J. Herbrand gegeben in den beiden Abhandlungen: Sur le problème fondamental de la Logique Mathématique, Compt. Rend. de la Soc. des Sc. et L. de Varsovie 1931. — Sur la non-contradiction de l'Arithmétique, Journal für die reine und angewandte Mathematik166 (1932).
Siehe Fußnote, W. Ackermann, Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke, Math. Annalen100 (1928).
n ist die Anzahl der Formelvariablen,h die höchste Stellenzahl derselben undl die Anzal der Seinszeichen unserer Formel.
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Schütte, K. Untersuchungen zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann. 109, 572–603 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449155
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