Suffizienz bei verschiebungsinvarianten Schätzproblemen

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daß beim Schätzen eines die Verteilung einer ZufallsgrößeX (mit Dichte) charakterisierenden Lageparameters λ verschiebungsinvariante FunktionenZ ₁=a ₁(X ₁,...,X _n ),...,Z _m =a _m (X ₁,...,X _n ) dern unabhängigen WiederholungenX ₁,...,X _n vonX genau dann suffizient sind, wenn für jede konvexe Schadensfunktion ein gleichmäßig bestes, nur vonZ ₁,...,Z _m abhängendes verschiebungsinvariantes Schätzverfahren existiert. Weiter wird bewiesen, daßX genau dann normalverteilt ist, wenn zu jeder konvexen Schadensfunktion ein γ existiert derart, daß$\bar X$ ein gleichmäßig bestes verschiebungsinvariantes Schätzverfahren ist.

Summary

LetX ₁,...,X _n be independent random variables with density functionf(x−λ) and unknown location parameter λ∈R ¹; furthermore leta _i (x ₁,...,x _n ),i=1,..., m, be functions which are invariant with respect to translations. ThenZ _i =a _i (X ₁,...,X _n ),i=1,...,m, are sufficient iff for every convex loss functions (.) there exists a functionh(z ₁,...,z _m ) such thath(Z ₁,...,Z _m ) is a best invariant estimate for the location parameter λ. Furthermore we show thatX ₁,...,X _n is a sample from a normal distribution if for every convex loss functions (.) there exists a constant γ such that$\bar X$ is a best invariant estimate for λ.