Equivariant estimation functions and normal distribution assumption for the model of linear regression

Summary

When estimating a linear functionalβ →g(β) in a linear modelM=(Y, Xβ, σ ² I), it is well known that, for convex loss, the OLS estimator minimizes the risk uniformly in the class ℰ(M, g) of all unbiased estimators providedY is normally distributed. For squared error loss andX a (n×2)-matrix we identify allX andg for which, in some sense, the converse holds:Y is necessarily normally distributed if the OLS estimator minimizes the risk uniformly in the class of equivariant estimators in ℰ(M, g).

Zusammenfassung

Bekanntlich minimiert bei der Schätzung einer linearen Parameterfunktionβ→(β) im linearen ModellM=(Y, Xβ, σ ² I) und bei konvexer Schadensfunktion die OLS-Schätzfunktion das Risiko gleichmäßig in der Klasse ℰ(M, g) aller erwartungstreuen Schätzfunktionen, wenn nurY normal verteilt ist. Für eine quadratische Schadensfunktion und einenx2-DesignmatrixX werden alleX undg bestimmt, für die in einem gewissen Sinn die Umkehrung gilt:Y ist notwendignormalverteilt, falls die OLS-Schätzfunktionen das Risiko in der Klasse der äquivarianten Schätzfunktionen von ℰ(M, g) gleichmäßig minimiert.