Teoria delle Onde di Rayleigh in Mezzi elastici e firmo-elastici, esposta con le Omografie vettoriali

Riassunto

II lavoro pubblicato da LordRayleigh, nel 1885, sulla propagazione delle onde alla superficie di un mezzo elastico, isotropo, indefinito è stato fonte di ulteriori ricerche vaste e numerose. Quì si espone la teoria classica delle onde diRayleigh valendosi delle omografie vettorali. Si passa poi ad estendere la teoria ad un mezzo elastico, che ammetta attrito interno (firmo-viscosità). Ciò consente di pervenire ai seguenti risultati:

• 1. La velocità di propagazione delle onde diRayleigh in un mezzo firmoelastico, da un valore teoricamente infinito per periodi nulli, tende rapidamente, per periodi crescenti, al valore che le compete in mezzi puramente elastici, tanto più rapidamente quanto maggiore è il valore del rapporto μ/μ′ (μ=costante di Lamé; μ'= coefficiente d'attrito interno equivoluminale).

• 2. La firmo-viscosità determina una sensibile riduzione della componente verticale del moto, riduzione che è tanto maggiore, quanto più piccoli sono il rapporto μ/μ′ e il periodo proprio dell'onda: per onde originanti con grossi periodi, l'azione dell'attrito interno sul rapporto delle ampiezze è pressochè nulla e il mezzo si comporta come puramente elastico. La firmo-viscosità può variare il rapporto delle ampiezzeZ/H da un valore prossimo all'unità (1.05) a 1.47, valore che la teoria diRayleigh assegna a quel rapporto per λ=μ.

• 3. Anche in un mezzo firmo-viscoso, le onde tipoRayleigh costringono le particelle raggiunte su traiettorie ellittiche; però, a differenza di quanto avviene in un mezzo puramente elastico, tali traiettorie non sono riferite ai propri assi. Solo per periodi infinitamente piccoli o infinitamente grandi, le traiettorie ellittiche tendono a quelle riferite ai propri assi.

• 4. La ricerca ha consentito di chiarire un altro aspetto della propagazione delle onde superficiali, finora rimasto insoluto. Nella classica teoria diRayleigh, le onde che portano il suo nome sono considerate come libere, persistenti, non soggette ad assorbimento da parte del mezzo. L'osservazione prova invece che l'assorbimento è fortissimo per i periodi più piccoli e tende a decrescere rapidamente, per raggiungere il valore di circae ^−0.0003 per periodi dell'ordine di 20 s. La nuova teoria prova che in un mezzo firmo-viscoso (con un rapporto μ/μ′= sec⁻¹, conforme alla media dei valori osservati) ciò è pienamente dimostrato: da un assorbimento elevatissimo per piccoli periodi, passando a periodi dell'ordine di 20 s e per μ/μ′, il coefficiente d'assorbimento diviene dell'ordine di 0.0003, che è appunto quello generalmente osservato.

Zusammenfassung

Die im Jahre 1885 von LordRayleigh veröffentlichte Arbeit über die Fortpflanzung von Wellen auf der Oberfläche eines elastischen, isotropen und unbegrenzten Mediums ist zum Ausgangspunkt für zahlreiche und ausgedehnte Untersuchungen geworden. An dieser Stelle wird zunächst die klassische Wellentheorie vonRayleigh dargelegt, die auf vektoriellen Homographien beruht, und darauf auf ein elastisches Medium ausgedehnt, in welchem innere Reibung zugelassen wird (Fest-Elastizität). Daraus werden folgende Resultate abgeleitet:

• 1. Die FortpflanzungsgeschwindigkeitRayleighscher Wellen in einem fest-elastischen Medium strebt von einem theoretisch unendlichen Wert für verschwindend kurze Schwingungsdauer für wachsende Perioden schnell dem Werte zu, der einem rein elastischen Medium entspricht; diese Änderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit verläuft parallel dem Wert des Quotienten μ/μ′ (wo μ dieLamésche Konstante und μ′ der Koeffizient der inneren Reibung bei gleichem Volumen ist). Dieser innere Reibungseffekt wurde neuerdings von den JapanernIkegami undKishinouye auf experimentellem Wege bestätigt.

• 2. Die Fest-Viskosität erzeugt eine merkliche Reduktion der Vertikalkomponente der Bewegung, die um so größer wird, je kleiner der Quotient μ/μ′ und die Eigenperiode der Welle ist. Für Wellen, die mit großen Perioden einsetzen, ist die Wirkung der inneren Reibung auf das Amplitudenverhältnis beinahe Null und das Medium verhält sich wie rein elastisch. Die Fest-Viskosität kann das AmplitudenverhältnisZ/H von einem Wert nahe der Einheit (1,05) bis zum Wert 1,47 variieren lassen, der nach der Theorie vonRayleigh für λ=μ gilt.

• 3. Auch in einem fest-zähen Medium befolgen beiRayleigh-Wellen die bewegten Teilchen elliptische Bahnen; doch beziehen sich diese Bahnen, im Gegensatz zu dem Verhalten in einem rein elastischen Medium, nicht auf die eigenen Achsen. Nur für unendlich kleine oder unendlich große Schwingungsdauer streben die elliptischen Bahnen einer Orientierung auf die eigenen Achsen zu.

• 4. Die vorliegende Untersuchung hat zur Abklärung eines bisher noch ungelösten Problems der Fortpflanzung von Oberflächenwellen geführt. In der klassischen Theorie vonRayleigh werden die nach ihm benannten Wellen als frei, persistent und keiner Absorption von Seiten des Mediums unterworfen angesehen. Die Beobachtung beweist dagegen, daß die Absorption für kleinere Schwingungsdauer besonders groß ist, mit wachsender Periode schnell abnimmt und für eine Periode von etwa 20 sec den Wert von zirkae ^−0.0003 annimmt. Aus der neuen Theorie läßt sich eindeutig beweisen, daß in einem fest-zähen Medium (mit einem dem Mittel der Beobachtungsergebnisse entsprechenden Quotienten μ/μ′ =50 sec⁻¹) der Absorptionskoeffizient von sehr hohen Werten für kleine Perioden beim Übergang zu einer Schwingungsdauer von 20 sec bei μ/μ′ =50 die Größenordnung 0,0003 annimmt, was gerade den Beobachtungsresultaten entspricht.

Summary

LordRayleigh's publication of 1885 on the propagation of waves at the surface of an elastic, isotrope and infinite medium has become the origin of numerous and exhaustive investigations. The classic wave theory ofRayleigh, founded on the vectorial homographies, is exposed in the present paper and then extended to an elastic medium admitting internal friction (firmo-viscosity). This leads to the following results:

• 1. The speed of propagation ofRayleigh waves in a firmo-elastic medium tends from a theoretically infinite value for periods quasi nil, for increasing periods rapidly towards a value which corresponds to a purely elastic medium with increase of the quotient μ/μ′ (μ=constant ofLamé, μ′ = coefficient of internal friction at constant volume). This effect of internal friction has recently been confirmed in experimental method by the JapanesesIkegami andKishinouye.

• 2. The firmo-viscosity produces a noticeable reduction of the vertical component of the motion; this reduction increases with the diminution of the quotient μ/μ′ and the original period of the wave. For waves starting with great periods the effect of the internal friction on the ratio of the amplitudes is almost nil and the medium is like purely elastic. The firmo-viscosity can provoke variations of the ratio of the amplitudesZ/H from 1,05 to 1,47 which according to theRayleigh theory must be valid for λ=μ.

• 3. Even in a firmo-viscous medium theRayleigh waves impose elliptic trajectories to the particles. But, contrary to the behaviour in a purely elastic medium, these trajectories do not refer to their own axes. Only for infinitely small or infinitely great periods of oscillation the elliptic trajectories tend towards an orientation on their own axes.

• 4. The present investigation leads to a clarification of a hitherto unsolved problem of the propagation of surface waves. In the classical theory ofRayleigh the waves which are called after his name are considered to be free, persistent and not subject to any absorption by the medium. But, the observation proves that the absorption for small periods of oscillation is particularly big, decreases rapidly with increasing period and for a period of about 20 sec takes the value of ca.e ^−0.0003. It can be proved from the new theory that in a firmo-viscous medium (with a quotient μ/μ′ =50 sec⁻¹ corresponding to the mean value of the observational data) the coefficient of absorption has very high values for small periods, but takes a magnitude of 0.0003 for a period of 20 sec at μ/μ′ = 50, what directly corresponds to the results of observations.

Résumé

Le travail publié par LordRayleigh en 1885 sur la propagation des ondes à la surface d'un milieu élastique, isotrope et indéfini a été à l'origine de recherches ultérieures, étendues et nombreuses. On expose ici la théorie classique deRayleigh fondée sur les homographies vectorielles. On passe ensuite à la théorie étendue à un milieu élastique admettant un frottement intérieur (firmo-viscosité). Cela mène aux résultats suivants:

• 1o La vitesse de propagation des ondes deRayleigh dans un milieu firmo-élastique, d'une valeur théoriquement infinie pour les périodes nulles, tend rapidement, pour les périodes croissantes, à la valeur qui lui correspond en un milieu purement élastique, d'autant plus rapidement que la valeur du rapport μ/μ′ (μ=constante deLamé; μ′ = coefficient du frottement intérieur équivoluminal) est plus grande. Cette sorte d'effet du frottement intérieur a été tout récemment confirmé, par voie expérimentale, par les japonaisIkegami etKishinouye.

• 2o La firmo-viscosité provoque une sensible réduction de la composante verticale du mouvement, réduction qui est d'autant plus grande que le rapport μ/μ′ et la période propre de l'onde sont plus petits: pour des ondes provenant de grandes périodes, l'action du frottement intérieur sur le rapport des amplitudes est presque nulle et le milieu se comporte comme s'il était purement élastique. L'action du frottement intérieur peut faire varier le rapport des amplitudesZ/H de la valeur 1.05 à celle de 1.47 que la théorie deRayleigh assigne à ce rapport pour λ=μ.

• 3o Même dans un milieu firmo-visqueux, les ondes du typeRayleigh imposent aux particules des trajectoires elliptiques; cependant, à la différence de ce qui arrive dans un milieu purement élastique, de telles trajectoires ne se réfèrent pas aux propres axes. Ce n'est que pour des périodes infiniment petites ou infiniment grandes que les trajectoires elliptiques tendent vers celles qui se réfèrent aux propres axes.

• 4o Cette étude a permis d'éclaircir théoriquement un autre aspect de la propagation des ondes superficielles jusqu'à présent resté non résolu. Dans la théorie classique deRayleigh les ondes qui portent son nom sont considérées comme des ondes libres, persistantes, non sujettes à l'absorption de la part du milieu. Or, l'observation prouve que l'absorption de la part du milieu est très forte pur les périodes plus petites et tend à décroître rapidement pour atteindre la valeur dee ^−0.0003 environ pour des périodes de l'ordre de 20 s. La nouvelle théorie prouve que dans un milieu firmo-élastique (avec un rapport μ/μ′ = 50 sec⁻¹ conforme à la moyenne des valeurs observées) cela est pleinement démontré: partant d'une absorption très élevée pour de petites périodes pour arriver à des périodes de l'ordre de 20 s et pour μ/μ′= 50, le coefficient d'absorption devient de l'ordre de 0.0003 qui est précisément celui généralement fourni par l'expérience.