Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Splinefunktionen

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein allgemeines Verfahren zur Erzeugung von Splineapproximationen für die Lösungen von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen vorgestellt. Einige der bekannten Spline-approximationsmethoden sind als Spezialfälle enthalten. Eine gängige Vorgehensweise besteht darin, das Intervall, über dem das Anfangswertproblem gegeben ist, in äquidistante Teilintervalle zu zerlegen und dann sukzessive die Splineapproximation zu definieren. Hierbei wird gefordert, daß die Spline-approximation in den Knoten gewisse Bedingungen erfüllt. Bei dem hier betrachteten allgemeinen Verfahren werden in den einzelnen Teilintervallen noch zusätzliche Zwischenknoten eingeführt. In diesen Punkten, die nicht äquidistant sein müssen, werden für die Splineapproximation analoge Bedingungen wie in den Hauptknoten vorgeschrieben. Konvergenz- und Divergenzsätze werden bewiesen, insbesondere wird der Einfluß der Zwischenknoten auf Konvergenz und Divergenz des Verfahrens untersucht.

Abstract

In this paper a general procedure to obtain spline approximations for the solutions of initial value problems for ordinary differential equations is presented. Several well-known spline approximation methods are included as special cases. It is common practice to partition the interval for which the initial value problem is defined into equidistant subintervals and to construct successively the spline approximation; thereby the spline function has to satisfy certain conditions at the knots. In the general procedure presented here additional knots are admitted in every subinterval. At these points which need not be equally spaced the spline approximation has to fulfill analogous conditions as at the original knots. Convergence and divergence theorems are proved; especially the influence of the additional knots on convergence and divergence of the method is investigated.