Sunto
Per l'equazione diLiénard d2i/dt2+ωf(i)[di/dt]+ω2i=0, suppostof(i) continua, e con altre ipotesi poco restrittive, si stabilisce l'esistenza di almeno una soluzione periodica. Si stabiliscono poi due semplicissimi criteri di esistenza di una sola soluzione periodica, uno del tipo diLevinson eSmith e uno del tipo diLiénard.
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Bibliography
H. et É. Cartan,Note sur la génération des oscillations entretenues, « Annales des Postes, Télégraphes et Téléphone », 14 (1925), pp. 1196–1207.
Cfr. anche per notizie bibliograficheB. van der Pol,Sur les oscillations de relaxations, « The philosophical Magazine », (7), 2 (1926), pp. 978–992;
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Cfr.N. Levinson-O, K. Smith, mem. cit. in (3), p. 384.
Cfr.N. Levinson-O. K. Smith, mem. cit. in (3), p. 397.
Cfr.N. Levinson-O. K. Smith, mem. cit. in (3), p. 399. Cfr anche il recente volume diS. Lefschetz,Lectures on differential equations, (Princenton, 1946), pp. 188–194.
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Cfr.A. Liénard, a) (Etude des oscillations entretenues, « Revue Général de lÉlectricité », 23 (1928); b)Oscillations auto-entretenues, « Proc. of the Third Int. Congr. of Applied Mechanich (Stockholm, 1930), 3 (1930), pp. 173–177. Lo studio asintotico degli integrali dell'equazione (d 2i/dt2)+ωɛ−1 f(i)(di/dt)+ω2 i=0, ove ɛ è un parametro infinitesimo trovasi inJ. Haag, a)Étude asymptotique des oscillations, « Ann, Sc. Éc. Norm. Sup. », (3), 60 (1943), pp. 35–111; b)Exemples concrets d'étude asymptotique d'oscillations de relaxations, ibidem, (3), 61 (1944), pp. 73–117, Per altri studi sulle soluzioni periodiche della medesima equazione quando ɛ →+∞, oppure ɛ → 0, cfr.J. Shohat, a)A new analytical types for solving van der Pol's …, « Journ. Appl. Phys. », 14 (1943), pp. 40–48; b)On van der Pol's and non linear differential equations, ibidem, 15 (1944), pp. 568–574.
All'equazione diH. edÉ. Cartan può dunque applicarsi questo teorema di esistenza.
Cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel Campo Reale, I (2a ed. Bologna, 1948), p. 15.
Per la dimostrazione di questa limitazione cfr.D. Grafei, mem. cit. in (3), pp. 83–84.
Cfr. ad es.G. Sansone, op. cit. in (11), I, Cap. V, § 4, n. 4.
Cfr.C. Carathéodory,Vorlesungen üher Reeller Funktionen, (zweite Auflage, 1927) p. 678. Cfr. ancheG. Sansone, op. cit. in (11), p. 48.
Cf.J. Haag, mem. cit in (3) [a)], pag. 36.
Cfr.A Liênard, mem. cit. in (3), n. 5.
N. Levinson-O. K. Smith, mem. cit. in (3), pp. 391–398. Cfr. ancheT. v. Kàrmàn,The engineer grapples with nonlinear problems, « Bull. of the Am. Mat. Soc. », 46 (1940), (pp. 615–683), pp. 623–624.
Cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel Campo Reale, 1 (2a ed. Bologna, 1948), p. 33.
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Sansone, G. Sopra l'equazione di A. Liénard delle oscillazioni di rilassamento. Annali di Matematica 28, 153–181 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02411124
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02411124