Transformationen, die die Normalverteilung charakterisieren

Zusammenfassung

Es sei A: Rⁿ→Rⁿ eine Abbildung mit$||A(\vec x)|| = ||\vec x||$ für jedes$\vec x \in R^n ;\mathop X\limits^ \to$ sei einn-dimensionaler Zufallsvektor. Wir beschreiben die Klasse aller TransformationenA, für die$\mathop Y\limits^ \to = A(\mathop X\limits^ \to )$ unabhängige, nachN(0, 1) verteilte Komponenten hat, sofern nur die KomponentenX ₁,...,X _n des Zufallsvektors$\mathop X\limits^ \to$ ebenfalls unabhängig und identish Gaußisch verteilt sind mit Erwartungswert Null und Varianz 1. Weiter sind Bedingungen angegeben, die sicherstellen, daß$\mathop X\limits^ \to$ nachN(O, σ²) verteilte KomponentenX ₁,...,X _n hat, sofern dieX ₁,...,X _n unabhängig und$\mathop X\limits^ \to$ und$\mathop Y\limits^ \to$ identisch verteilt sind. Zwei vonBeer undLukacs behandelte Transformationen sind Spezialfälle der hier untersuchten Transformationen.

Summary

Let A: Rⁿ→Rⁿ be a transformation with the property$||A(\vec x)|| = ||\vec x||$ for every$\vec x \in R^n$. We consider a random vector$\mathop X\limits^ \to$ and characterize the class of all transformationsA such that$\mathop Y\limits^ \to = A(\mathop X\limits^ \to )$ has independentN (0, 1) distributed componentsY ₁,...,Y _n if$\mathop X\limits^ \to$ has the same distribution. Furthermore in the paper there are given conditions which ensure that$\mathop X\limits^ \to$ hasN(O, σ² distributed components if$\mathop X\limits^ \to$ and$\mathop Y\limits^ \to$ are identically distributed and the componentsX ₁,...,X _n are independent, identically distributed random variables. Two of the transformations tried byBeer andLukacs are special cases of our transformations.