Skip to main content
SpringerLink
Log in

Computing turning points of curves implicitly defined by nonlinear equations depending on a parameter

Zur Berechnung der Rückkehrpunkte von Raumkurven, die implizit durch parameterabhängige nichtlinear Gleichungssysteme definiert werden

  • Published:
Computing Aims and scope Submit manuscript

Abstract

Let the space curveL be defined implicitly by the (n, n+1) nonlinear systemH(u)=0. A new direct Newton-like method for computing turning points ofL is described that requires per step only the evaluation of one Jacobian and 5 function values ofH. Moreover, a linear system of dimensionn+1 with 4 different right hand sides has to be solved per step. Under suitable conditions the method is shown to converge locally withQ-order two if a certain discretization stepsize is appropriately chosen. Two numerical examples confirm the theoretical results.

Zusammenfassung

Die RaumkurveL werde implizit durch das nichtlineare (n, n+1)-SystemH(u)=0 definiert. Es wird ein neues direktes Newton-ähnliches Verfahren zur Bestimmung der Rückkehrpunkte vonL beschrieben, das pro Schritt lediglich die Berechnung einer Jacobimatrix und 5 Funktionswerten vonH erfordert. Außerdem ist pro Schritt ein lineares Gleichungssystem der Dimensionn+1 mit 4 verschiedenen rechten Seiten zu lösen. Unter passenden voraussetzungen wird die lokale undQ-quadratische Konvergenz des Verfahrens bewiesen, sofern eine gewisse Diskretisierungsschrittweise geeignet gewählt wird. Zwei numerische Beispiele bestätigen die theoretischen Resultate.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. Abbott, J. P.: An efficient algorithm for determination of certain bifurcation points. J. Comput. Appl. Math.4, 19–27 (1978).

    Article  Google Scholar 

  2. Abbott, J. P.: Numerical continuation methods for nonlinear equations and bifurcation problems. Ph. D. Thesis, Australian National University, 1977.

  3. Anselone, P., Moore, R.: An extension of the Newton-Kantorovich method for solving nonlinear equations with an application to elasticity. J. Math. Anal. Appl.13, 476–501 (1966).

    Article  Google Scholar 

  4. Chua, L. O., Ushida, A.: A switching-parameter algorithm for finding multiple solutions of nonlinear resistive circuits. IEEE Trans. Circuit Theory and Applications4, 215–230 (1976).

    Google Scholar 

  5. Haselgrove, C.: Solution of nonlinear equations and of differential equations with two-point boundary conditions. Comput. J.4, 255–259 (1961).

    Article  Google Scholar 

  6. Kubiček, M.: Dependence of solution of nonlinear systems on a parameter (Algorithm 502). ACM Transactions on Math. Software2, 98–107 (1976).

    Google Scholar 

  7. Kubiček, M.: Evaluation of branching points for nonlinear boundary-value problems based on the GPM-technique. Appl. Math. Comput.1, 341–352 (1975).

    Article  Google Scholar 

  8. Menzel, R., Schwetlick, H.: Zur Lösung parameterabhängiger nichtlinearer Gleichungen mit singulären Jacobi-Matrizen. Numer. Math.30, 65–79 (1978).

    Article  Google Scholar 

  9. Ortega, J. M., Rheinboldt, W. C.: Iterative solution of nonlinear equations in several variables. New York-London: Academic Press 1970.

    Google Scholar 

  10. Pönisch, G.: Ein implementierbares ableitungsfreies Verfahren zur Bestimmung von Rückkehrpunkten implizit definierter Raumkurven. Beiträge z. Numer. Math.9 (1980).

  11. Pönisch, G.: Verfahren zur numerischen Bestimmung von Rückkehrpunkten implizit definierter Raumkurven. Diss. A, TU Dresden, 1979.

  12. Pönisch, G., Schwetlick, H.: Ein lokal überlinear konvergentes Verfahren zur Bestimmung von Rückkehrpunkten implizit definierter Raumkurven. Preprint TU Dresden 07-30-77 (1977). (To appear in Numer. Math.)

  13. Rheinboldt, W. C.: Solution field of nonlinear equations and continuation methods. Techn. Report ICMA 79-04 (1979), Univ. of Pittsburgh.

  14. Riks, E.: The application of Newton's method to the problem of elastic stability. J. Appl. Mech. Tech. Phys.39, 1060–1065 (1972).

    Google Scholar 

  15. Schwetlick, H.: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Berlin: Deutscher Verlag d. Wissenschaften 1979.

    Google Scholar 

  16. Seydel, R.: Numerical computation of branching points in nonlinear equations. Numer. Math.33, 339–352 (1979).

    Article  Google Scholar 

  17. Simpson, R. B.: A method for numerical determination of bifurcation states of nonlinear systems of equations. SIAM J. Numer. Anal.12, 439–451 (1975).

    Article  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Sektion Mathematik, Technische Universität Dresden, DDR-8027, Dresden, German Democratic Republic

    G. Pönisch

  2. Sektion Mathematik, Martin-Luther-Universität Halle, DDR-4010, Halle, German Democratic Republic

    H. Schwetlick

Authors
  1. G. Pönisch
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  2. H. Schwetlick
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Pönisch, G., Schwetlick, H. Computing turning points of curves implicitly defined by nonlinear equations depending on a parameter. Computing 26, 107–121 (1981). https://doi.org/10.1007/BF02241778

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02241778

Subject Classification

Key words

Search

Navigation