Reguläre Graphen beliebigen Grades mit vorgegebenen Eigenschaften

Zusammenfassung

der Sätze 2, 3, 11 und 16 das Hauptresultat dieser Arbeit formulieren:

Satz 17. Wenn eine endliche Gruppe ℌ und zwei natürliche Zahlen n und χ so vorgegeben sind, daß 3≦n<∞ und 2≦χ≦n ist, dann gibt es stets eine unendliche Menge endlicher und eine nicht abzählbare Menge unendlicher regulärer Graphen X vom Grade n(X)=n mit der Farbenzahl χ(X)=χ und einer AutomorphismengruppeG(X)ℌ. Da die Graphen, von denen wir bei der Konstruktion ausgegangen sind, für ℌ≇ℭ frei von Fixpunkten und Fixkanten waren, ist im Lichte der verwendeten Substitutionstechnik leicht einzusehen, daß auch die neu erhaltenen Graphen diese Eigenschaften haben müssen. Denn zu jeder Kante eines neuen Graphen, die aus einer Kante des alten Graphen hervorgegangen ist, gibt es wegen der Fixkantenfreiheit des alten ein Element der Gruppe, das diese Kante verändert. Jene Knotenpunkte und Kanten aber, die aus den Knotenpunkten des alten Graphen hervorgehen, können nicht invariant sein, weil der alte Graph keine Fixpunkte hatte. Zum Schluß sei noch vermerkt, daß die konstruierten Graphen zusammenhängend sind und weder Einecke noch Zweiecke enthalten.