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Über symmetrische Funktionen von endlich oder abzählbar unendlich vielen Veränderlichen

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  1. Es liegt also keine Lösung vor, wenn zwar in den Zeilen (bzw. Kolonnen) die Summena *1 ,...,a * m (bzw.b 1,...b n ) sich ergeben, aber in anderer als der vorgeschriebenen Reihenfolge.

  2. Wie schon Anm. 13, Nr.8, hervorgehoben, fassen wir Systeme, die sich wie (a 1,...,a m ) und (a 1,...,a m , 0) nur durch Hinzufügen einer Null unterscheiden, als nicht-verschieden auf. Dementsprechend kann jedes System durch beliebig viele Nullen erweitert werden und es ist im Folgendena μ=0 zu setzen für μ>m. Auch können zwei Systeme immer auf die gleiche Anzahlm ihrer Glieder gebracht werden.

  3. Genauer: Ein System, für welchesA 1−A 2 und die zweiten Differenzen (A μ−A μ+1)−(A μ+1−A μ+2) nicht-negativ sind.

  4. Daß diese Definition des konjugierten Systems sich mit der in Nr.11 gegebenen deckt, ist aus Gleichung (19) unmittelbar ersichtlich.

  5. Vgl. auch Anm. 20, Nr.11, wo dasselbe unter Heranziehung von Veränderlichen gezeigt wurde.

  6. Der Name “Höhe” ist allerdings nicht ganz passend. Man könnteH y =Σy bzw.H x =Σx als Maß für die Ausdehnung der Figur in dery-, bzw.x-Richtung und dementsprechend Σ(y−x) als Überschuß der Höhen- über die Breitenausdehnung ansehen. Man könnte also Σ(y−x) “Schlankheit” nennen; aber dieses Wort hat auf anderen Gebieten menschlichen Strebens eine so tonangebende Bedeutung inne, daß ich mich scheue, es an so bescheidener Stelle in die Mathematik einzuführen. Von den Zahlensystemen mith=0, bei denen sich also Höhen- und Breitenausdehnung die Waage halten, wird in Nr.37 besonders die Rede sein.

  7. Dieser Hilfssatz ist eine Art Gegenstück zu der einfachen Tatsache: wenn ina<x<b gilt:f(x)≧0,f''(x)≦0, so ist entweder durchwegsf(x)=0 oder durchwegsf(x)>0.

  8. Natürlich entfällt (58), wennk=0 ist.

  9. Für λ=1 entfällt diese Aussage.

  10. Doch gibt es auch noch andere Systeme der Höhe 0 (allerdings nicht fürp≦14); vgl. Nr.37.

  11. Fig. 3 enthält neben jedem Zahlensystem die zugehörige Quadratfigur (und zwar — in Einklang mit der in §§ 5, 6 festgehaltenen Wahl der “y-Figur” —die Zahlenb v in dery-Richtung als Höhen der einzelnen Kolonnen zur Darstellung gebracht). Die Zahlensysteme sind dabei in abgekürzter Schreibweise bezeichnet, z. B. (3, 1, 1, 1)=(3, 13), vgl. Anm. 50 Für (6, 5, 4, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 1) schreiben wir gelegentlich auch abgekürzt (6, 5, 43, 22, 14); analog bei anderen Beispielen.

  12. Fürp≦5 treten solche Fälle (des Fehlens einer Ordnungsbeziehung zwischen zwei Systemen desselben Grades) noch nicht auf; vielmehr lassen sich da die Systeme gleichen Grades in eine einfache Anordnung so bringen, daß jedes frühere System aus dem unmittelbar nachfolgenden durch elementaren Aufbau entsteht. Es liegt das daran, daß bei einem System von einem Grad ≦5 ein elementarer Aufbau, wenn überhaupt, nur auf eine einzige Weise möglich ist. Zum Unterschied dagegen ist beip≧6 ein elementarer Aufbau von (3, 2, 1) aus (desgleichen von (22, 12) aus) auf mehr als eine Weise möglich; derartige Verzweigungen treten beip≧6 stets auf; z. B. gelangt man allgemein bei jedemp>6 vom System (22, 1p−4) durch elementaren Aufbau sowohl zum System (3, 1p−3) als auch zum System (23, 1p−6). Man vgl. auch Nr.26, wo wir ein Beispiel eines Systems hatten, aus welchem vier andere durch elementaren Aufbau herleitbar sind.

  13. Diese Möglichkeit besteht natürlich ganz allgemein, wenn in einer Gesamtheit von endlich vielen Elementen zwischen gewissen Paarena, b von verschiedenen Elementen eine Beziehunga<b festgesetzt ist, die transitiv ist.

  14. Demgegenüber erhält man von der Gesamtheit aller Anordnungen (63) nur einen Teil, wenn man sich beschränkt auf die lexikographischen Anordnungen bezüglich der ZahlenB v (oder was auf dasselbe hinausläuft, bezüglich der Zahlenp v=p—B v+1; vgl. Nr.24) — es gibt ihrer natürlich im allgemeinen mehrere je nach der Reihenfolge, in der dieB v ausschlaggebend sind (vgl. Nr.14, Anm. 24).

  15. Vgl. Anm. 44 Der Name “Höhe” ist allerdings nicht ganz passend. Man könnteH y =Σy bzw.H x =Σx als Maß für die Ausdehnung der Figur in dery-, bzw.x-Richtung und dementsprechend Σ(y−x) als Überschuß der Höhen- über die Breitenausdehnung ansehen. Man könnte also Σ(y−x) “Schlankheit” nennen; aber dieses Wort hat auf anderen Gebieten menschlichen Strebens eine so tonangebende Bedeutung inne, daß ich mich scheue, es an so bescheidener Stelle in die Mathematik einzuführen. Von den Zahlensystemen mith=0, bei denen sich also Höhen- und Breitenausdehnung die Waage halten, wird in Nr.37 besonders die Rede sein.

  16. Es treten also in den in Anm. 6 erwähnten Tabellen, da diese gerade bisp=14 reichen, nur selbstkonjugierte und keine anderen Zahlensysteme mith=0 auf.

  17. Es ist aberQ<=1 nur fürp≦7 (und zwar istQ=1 fürp=1 fürp=1 und für 3≦p≦7,Q=0 fürp=2), während fürp=2q (q≧4) mindestens die zwei selbstkonjugierten Systeme (q, 2, 1q−2), (q−1, 3, 2, 1q−4) und fürp=2q+1 (q≧4) mindestens die zwei selbstkonjugierten Systeme (q+1, 1q), (q−1, 32, 1q−4) vorhanden sind.

  18. Satz (m) deckt sich inhaltlich mit Satz (c) in Nr.12; dort wurde der Beweis unter Heranziehung von Veränderlichen im Rahmen der Betrachtungen über symmetrische Polynome erbracht.

  19. Beim Beweis dieser Ungleichung braucht man nur λ≧2 zu berücksichtigen, da sie für λ=1 wegenB 1=B *1 =p von selbst erfüllt ist.

  20. Satz (n) deckt sich inhaltlich mit Satz (d) in Nr.13, der dort unter Heranziehung von Veränderlichen nachgewiesen wurde.

  21. Vgl. Nr.26;k≧2 entspricht dem Typus I,k=1 dem Typus II.

  22. Wegen (74) muß es natürlich außer denc+1 Indizes, für welche (73) gilt, fallsc>1 ist nochc−1 andere Indizes μ geben, für dieg' μλ=0,g' μ,λ+k =1 ist, sowieb' λ−c−1=b λ−c weitere Indizes μ, für dieg' μλ=g' μ,λ+k =1 ist, während für alle übrigen μ danng' μλ=g' μ,λ+k =0, sein wird.

  23. Fürb λ−c weitere Indizes μ ist danng μλ=g μ, λ+k =1, für alle übrigen μ istg μλ=g μ,λ+k =0.

  24. Die Betrachtungen des § 10 betreffen durchaus nicht beliebige symmetrische Funktionen, sondern beschränken sich darauf, die Gültigkeit der Gleichungen (6), (9) (vgl. Nr.1, 2) von endlich vielen auf unendlich viele Veränderliche auszudehnen. Es haben sich ja auch die Betrachtungen der §§ 1, 2 über symmetrische Funktionen von endlich vielen Veränderlichenx 1,...,x l auf Polynome beschränkt und sowohl ganze transzendente als auch noch allgemeinere symmetrische Funktionen unerörtert gelassen. Zusatz: Da im ersten Teil (§§ 1, 2) der Fundamentalsatz der Lehre von den symmetrischen Funktionen behandelt wurde, so mag in dieser Herrn Professor Furtwängler zum 70. Geburtstag gewidmeten Arbeit auch der überaus einfache, und durch seine doppelte Induktion (bezüglich Grad und Variablenzahl) interessante Beweis angeführt werden, den Herr Furtwängler für den Fundamentalsatz in seinen Vorlesungen gebracht hat und von dem ich kürzlich durch Herrn Professor Lense Kenntnis erhielt. Herr Professor Furtwängler selbst hat auf eine Anfrage von mir freundlicher Weise mich noch auf H. Hasse, Höhere Algebra. II (1937), S. 150 f., hingewiesen, wo der dem Furtwänglerschen Beweis zugrundeliegende Gedanke doppelter Induktion sich wieder findet. (Zusatz bei der Korrektur.)

  25. Auch dieX′,X″,...,Y′,Y″,... in Nr.50, 51 hatten nur die Bedeutung beliebiger durch die Transformation (92) miteinander verknüpfter Variablen und brauchten nicht im Sinne von Nr.1 und §1 als symmetrische Funktionen vonx 1,...,x l aufgefaßt zu werden.

  26. Wobei, wie mehrfach erwähnt, Nullen unter dena *μ oderb ν keine Rolle spielen; vgl. Anm. 13 und 33 Wie schon Anm. 13, Nr.8, hervorgehoben, fassen wir Systeme, die sich wie (a 1,...,a m ) und (a 1,...,a m , 0) nur durch Hinzufügen einer Null unterscheiden, als nicht-verschieden auf. Dementsprechend kann jedes System durch beliebig viele Nullen erweitert werden und es ist im Folgendena μ=0 zu setzen für μ>m. Auch können zwei Systeme immer auf die gleiche Anzahlm ihrer Glieder gebracht werden.

  27. Läßt man etwaige Nullen unter denx k weg (wobei wir von dem trivialen Fall absehen, daß nur endlich vielex k ≠0 seien), dann sind −1/x 1, −1/x 2,... die Nullstellen einer ganzen transzendenten FunktionG(t) vom Geschlecht 0, für welcheG(t)=Π(1+x k t)=1+f 1 t+f 2 t 2+...gilt, wobeif 1,f 2,...die in Nr.53 erklärten symmetrischen Grundfunktionen derx 1,x 2,...sind.

  28. Die “Verschiedenheit” der Glieder ist (unabhängig von den Zahlenwerten derx k ) so zu verstehen, als ob es sich bei denx k um unabhängige Variable (Unbestimmte) handelte. Beispielsweise sindx 41 x 2 x 3 undx 42 x 1 x 3 als verschieden anzusehen, selbst wenn die Zahlenwerte vonx 1 undx 2 gleich sein sollten; hingegen sindx 21 x 22 x 3 undx 22 x 21 x 3 als nicht verschieden anzusehen; — also ganz so, wie in den §§ 1, 2 bei endlich vielen Größenx k , die wir dort überhaupt als unabhängige Variable betrachteten.

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  1. München, Germany

    Heinrich Tietze

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  1. Heinrich Tietze
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Mit 3 Textfiguren.

Vgl. den in Band 48, S. 487–499, erschienenen ersten Teil der Arbeit. Auf diesen beziehen sich mannigfache Verweise, wobei Formeln, Paragraphen usw. durchlaufend durch beide Teile numeriert sind.

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Tietze, H. Über symmetrische Funktionen von endlich oder abzählbar unendlich vielen Veränderlichen. Monatsh. f. Mathematik und Physik 49, 1–52 (1941). https://doi.org/10.1007/BF01707286

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