Beiträge zur Anwendung der Inversionsmethode bei Behandlung von ebenen Problemen der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Die Randwertaufgabe der Gleichung$\triangledown ^2 \triangledown ^2 F = 0$ ist nur für wenige einfache Gebiete allgemein gelöst. In den hier angeführten Beispielen und in den in Ziff.7 und8 erwähnten Arbeiten des Verfassers wurde die Lösung auf jene Gebilde erweitert, die durch Inversion aus dem, (konzentrischen) Kreisring hervorgehen, wobei beliebige Randbedingungen vorgeschrieben sein können. Als solche Gebilde sind hier zu nennen:

• 1. die zweiparametrige Mannigfaltigkeit der exzentrischen Kreisringe,

• 2. die einparametrige Mannigfaltigkeit der kreisförmig gelochten Halbebenen,

• 3. die zweiparametrige Mannigfaltigkeit der doppelt kreisförmig gelochten unendlich ausgedehnten Ebenen; als Sonderfall tritt hier der (einparametrige) Fall der mit zwei gleich großen Öffnungen versehenen Ebene auf.

Bemerkt sei noch, daß Fall 2. als Grenzgestaltung von I. oder von 3. gewonnen werden kann; er ist aber mit Fall 1. näher verwandt (zweifacher Zusammenhang der Bereiche).

Diese drei Fälle werden unmittelbar als inverse Abbildungen des (konzentrischen) Kreisringes erhalten, je nachdem ob das Inversionszentrum 1) außerhalb der eigentlichen Kreisringfläche (also außen oder innen), 2) auf deren Querschnittsbegrenzungskreisen bzw. 3) innerhalb der Ringfläche selbst liegend angenommen wird.

Damit sind aber auch schon alle Möglichkeiten, die durch die hier besprochene Transformation des Kreisringes gewonnen werden können, restlos erschöpft.