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Literatur
F. S. Macaulay, On the resolution of a given Modular System into Primary Systems including some Properties of Hilbert Numbers, Math. Annalen74 (1913) und The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge 1916. Die erste Arbeit wird im folgenden mit M1, die zweite mit M2 zitiert.
“Principal system”, d. h. die Basis dieses Systems wird durch ein einziges Element gebildet.
Eine ausführlichere Darstellung dieser Operation findet sich bei B. L. van der Waerden, On Hilbert's Function, Kon. Akad. v. Wetensch. Amsterdam Proc.30, 2 (1928), p. 749–770; §24.
Über Quotientenringe und das Entsprechen der Ideale siehe H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen97 (1927), besonders §6.
Siehe M2, §26 F. S. Macaulay, On the resolution of a given Modular System into Primary Systems including some Properties of Hilbert Numbers, und The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge 1916.
Diese Bezeichnung steht in Übereinstimmung mit der v. d. Waerdenschen Definition, v. d. Waerden, a. a. O., § 26.
Siehe E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Annalen96 (1927), § 10.
W. Krull, Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe, Math. Annalen99 (1928), § 4 bis 5.
E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), Satz IV.
Vgl. den Schluß von § 8.
H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen97 (1927), § 1, definiert den “Modulkörper” als eine Menge von Elementen a, b, ..., für die vier Verknüpfungsarten a+b, a∩b, a·, a∶b bestehen; für diese gelten die bekannten Rechenregeln, welche Grell axiomatisch begründet; ebenso folgt eine “teilweise Ordnung” der Menge mit Hilfe der abgeleiteten Beziehunge=, ⊂, ⊃. ∥ (unvergleichbar). EinIdealkörper ist ein Modulkörper, der einen Modul o enthält, welcher alle anderen teilt und für den\(\mathfrak{a} \mathfrak{o} \subseteq \mathfrak{a}\) ist (a ein beliebiges Element des Idealkörpers). Insbesondere bilden die Ideale eines Ringes einen Idealkörper.
Dedekind, Über die Diskriminanten endlicher Körper, Abhandlung Akad. d. Wissensch. Göttingen29 (1882) oder Ges. Werke, Bd. I, S. 351–396; besonders § 9 dieser Abhandlung.
Siehe E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921),
E. Noether, a. a. O. Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), § 3, Hilfssatz II.
Siehe E. Noether, a. a. O. Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), Satz IV.
Siehe etwa B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Berlin 1931, II. Teil, § 85 Schluß.
Die folgende Entwicklung beruht wesentlich auf B. L. van der Waerden, Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen, und Zur Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe Math. Annalen101 (1929), S. 293–308 und S. 309–311.
“Einhöheres Primideal ist ein Primideal, das keine echten Primvielfachen außer Nullteileridealen besitzt”. van der Waerden, a. a. O.,
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Gröbner, W. Über irreduzible Ideale in kommutativen Ringen. Math. Ann. 110, 197–222 (1935). https://doi.org/10.1007/BF01448025
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