Theorie der räumlichen und zeitlichen Mittelbildung einer beliebigen Feldfunktion und ihre Anwendung in der Meteorologie

Zusammenfassung

Durch Untersuchung des Zusammenhanges zwischen dem Zeit- und dem Raummittelfeld einer beliebigen Feldfunktion wurde folgende Beziehung gefunden: Existiert zwischen dem Zeit- und Raummittel einer Feldfunktion ein Äquivalenzprinzip, so genügt diese Funktion einer homogenen Wellengleichung mit der Geschwindigkeit$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ der Welle (im zweidimensionalen Fall). Δs und Δt sind hiebei die Raumbzw. Zeitinkremente der räumlichen bzw. zeitlichen Mittelung der Feldfunktion. Diese Feststellung gilt auch umgekehrt: falls eine Raum-Zeitfunktion einer Wellengleichung mit$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ genügt, so gilt für das Raum- und Zeitmittel der Funktion mit Δs und Δt als die dazugehörigen Inkremente ein Äquivalenzprinzip. Ist die Geschwindigkeit der Welle$c \ne \ne \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, so besteht zwischen dem Raum- und Zeitmittel einer Feldfunktion eine allgemeinere lineare Beziehung, die genau bestimmbar ist. DaH. Reuter für das Geopotential einer Druckfläche ein Äquivalenzprinzip von Raum- und Zeitmittel statistisch nachweisen konnte, muß auf Grund der oben erwähnten Ergebnisse geschlossen werden, daß in der Atmosphäre Wellen- bzw. Schwingungsvorgänge (lineare Vorgänge) sehr häufig vorkommen. Es kann nachgewiesen werden, daß gewisse partikuläre Integrale der divergenzfreien Vorticitygleichung (z. B. Rossby-Lösung) gleichzeitig auch Lösungen der homogenen Wellengleichung sind. Für diese Lösungen werden die Bedingungen für ein Äquivalenzprinzip von Raum- und Zeitmittel ausführlich diskutiert.

Weiters kann gezeigt werden, daß man mittels des Äquivalenzprinzipes die homogene Wellengleichung sehr einfach numerisch oder graphisch integrieren kann. Diese Tatsache wird zur Konstruktion von Vorhersagekarten im 500 mb-Niveau verwendet. Allerdings muß bei einer solchen Integration die Geschwindigkeit des Feldes bekannt sein. Diese Geschwindigkeit wird daher entweder durch Extrapolation oder mittels derRossby-Formel unter Zuhilfenahme der zonalen Windkomponenten ermittelt. Naturgemaß können aber durch eine solche Methode der Vorhersage barokline Entwicklungen nicht erfaßt werden. Ferner werden noch Vorschläge zur Verbesserung der Methode zur Vorhersage von Mittelkarten nachH. Reuter ausgearbeitet.

Summary

An investigation of the correlation between time means and space means of an arbitrary field function renders the following relationship: If the time and space means of a field function follow a principle of equivalence, this field function satisfies a homogeneous wave equation, with a wave velocity$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ (in the two-dimensional case). Δs and Δt are the grid distance and time interval used in calculating the space and time averages of the field. The above statement may also be reversed: if a function of space and time satisfies a wave equation with$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, the space and time means (increments Δs and Δt) follow a principle of equivalence. If the wave velocity$c \ne \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, the space and time means of the field function can be represented accurately by a linear general equation.

The existence of a principle of equivalence between space and time means of the geopotential field of a constant pressure level has been proved statistically byH. Reuter. In view of the present results, this equivalence suggests that wave processes must be rather common in the atmosphere. It can be shown that certain particular integrals of the non-divergence vorticity equation (e. g. theRossby-solution) are also solutions of the homogeneous wave equation. For these solutions, the conditions of a principle of equivalence of space and time means are discussed in detail.

Further, it can be shown that, by means of the principle of equivalence, the homogeneous wave equation may easily be integrated, either numerically or graphically. These findings were utilized in constructing prognostic charts of the 500 mb level. Integration of the wave equation is only possible if the velocity of the field is known. It can be found either by extrapolation in time, or by means of theRossby formula and the zonal wind component. Of course, the prognostic method described here does not cover baroclinic developments. Finally, several suggestions are made to improveH. Reuter's method of extended forecasting.

Résumé

En recherchant la connexion entre les champs des moyennes temporelles et spatiales d'une fonction de champ quelconque on atrouvé le rapport suivant: Si la moyenne temporelle et la moyenne spatiale d'une fonction de champ obéissent à un principe d'équivalence, cette fonction satisfait une équation des ondes, la vitesse de l'onde (dans le cas à deux dimensions) étant$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Ici, Δs indique la dimension du carrelage et Δt la différence du temps au calcul des moyennes spatiales et temporelles dans le champ. Cette règle est aussi reversible: si une fonction spatiale et temporelle satisfait une équation des ondes avec$c = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. un principe d'équivalence est applicable pour les moyennes spatiales et temporelles en employant les différences Δs et Δt. Si la vitesse de l'onde$c \ne \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, une relation linéaire et plus générale existe entre la moyenne spatiale et temporelle, laquelle peut être déterminée précisément.

CommeH. Reuter pouvait prouver par la statistique un principe d'équivalence entre des moyennes spatiales et temporelles dans un champ du géopotentiel d'un niveau isobarique, il faut conclure en raison des résultats mentionnés ci-dessus que dans l'atmosph⪻re les événements ondulatoires ou de l'oscillation (évéments linéaires) sont très fréquents. On peut prouver que certaines intégrales particulières de l'équation de vorticity sans divergence (par exemple: solution deRossby) sont simultanément aussi des solutions de l'équation homogéne des ondes. Pour ces solutions-là les conditions pour un principe de l'équivalence entre les moyennes spatiales et temporelles sont discutées en détail.

En outre on peut montrer qu'on peut intégrer l'équation homogène des ondes bien facilement numériquement ou d'une manière graphique au moyen du principe de l'équivalence. Ce fait est appliqué pour la construction des cartes de prévision au niveau de 500 mb. Cependant il faut connaître la vitesse du champ pour une telle intégration. On trouve cette vitesse par extrapolation ou au moyen de la formule deRossby en s'appuyant sur les composantes zonales du vent. Mais il faut dire que les évolutions baroclines ne peuvent pas être saisies par une telle méthode de prévision. De plus l'auteur propose des amendements de la méthode de prévision des cartes moyennes selonReuter.