A new method for automatical computation of error bounds for the set of all solutions of nonlinear boundary value problems

Abstract

We consider nonlinear boundary value problems with arbitrarily many solutionsuεC ² [a, b]. In this paper an Algorithm will be established for a priori bounds$\bar u,\bar d \in C[a,b]$ with the following properties:

• 1. For every solutionu of the nonlinear problem we obtain

  $$\bar u(x) \leqslant u(x) \leqslant \bar u(x), - \bar d(x) \leqslant u'(x) \leqslant \bar d(x)$$

  for any,xε[a, b].

• 2. The bounds$\bar u$ and % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmizayaara% aaaa!36EE!\[\bar d\] are defined by the use of the functions exp, sin and cos.

• 3. We use neither the knowledge of solutions nor the number of solutions.

Zusammenfassung

Es werden nichtlineare gewöhnliche Randwertaufgaben zweiter Ordnung mit beliebig vielen LösungenuεC ²[a, b] behandelt. In dieser Arbeit wird ein Algorithmus zur Berechnung von a priori Schranken$\bar u,\bar d \in C[a,b]$ eingeführt. Für die Schranken$\bar u$ und % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmizayaara% aaaa!36EE!\[\bar d\] werden die folgenden Eigenschaften garantiert.

• 1. Für jede Lösungu des behandelten nichtlinearen Problems gelten

  $$\bar u(x) \leqslant u(x) \leqslant \bar u(x), - \bar d(x) \leqslant u'(x) \leqslant \bar d(x)$$

  für jedesxε[a, b].

• 2. Die Schranken$\bar u$ und % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmizayaara% aaaa!36EE!\[\bar d\] werden mit Hilfe der Funktionen exp, sin und cos definiert.

• 3. Die Schranken$\bar u$ und % MathType!MTEF!2!1!+-% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmizayaara% aaaa!36EE!\[\bar d\] werden ohne Kenntnis von Lösungen und der Zahl der Lösungen berechnet.