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References
Soweit diese Betrachtungen den Begriff “eher als” betreffen, sind sie durch den Bericht angeregt, denW. Ackermann im Zentralbl. f. Math. 24 (1941), S. 50, 241, über die Arbeiten vonB. O. Koopman, The axioms and algebra of intuitive probability, und Intuitive probabilities and sequences, Ann. of Math. 41 (1940), 269–292, und 42 (1941), 169–187, gegeben hat. Die Arbeiten selbst habe ich erst gesehen, als die folgenden Betrachtungen im Wesentlichen fertig waren.Koopmans Gedankengang unterscheidet sich von dem hier vorgetragenen hauptsächlich durch Folgendes:Koopman erklärt erstens den Begriff “eher als” durch seine Axiome für ein größeres Gebiet und engt ihn erst zum Schluß auf das der Anwendung ein. Zweitens legt er auf eine möglichst genaue Festlegung und eingehende Untersuchung des Eherbegriffs wert. Drittens findet sich bei ihm der Begriff der Gruppe eines Spiels nicht, wodurch er genötigt ist, das Bestehen von Wahrscheinlichkeitsskalen zu fordern. Die folgenden Ausführungen wollen dagegen überflüssige Allgemeinheit von Anfang an vermeiden, den Eherbegriff nur soweit festlegen und behandeln, als für die Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung notwendig ist, und mit Hilfe der Gruppe eines Spiels auf dem Weg über dieLaplacesche Wahrscheinlichkeitsdefinition auf die Wirklichkeit anwendbar sein. Die Axiome decken sich mit denenKoopmans nur soweit, als sie unausweichlich zu sein scheinen und man von dem verschiedenen Geltungsbereich absieht. Sie scheinen mir den Vorteil zu haben, leichter verständlich zu sein und dem, der den richtigen Eherbegriff einsetzt, leichter einzuleuchten, als dieKoopmanschen Axiome. Diesen Vorteil scheinen sie mir auch gegenüber anderen, andere undefinierte Grundbegriffe festlegenden Axiomensystemen zu haben.
Hierüber habe ich auf der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Würzburg im September 1943 gesprochen. Die Ausdehnung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs mit Hilfe des Eherbegriffs wurde dabei nur angedeutet. Vgl. Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 54 (1944).
Die hier gebrauchten logischen Begriffe und Zeichen sind den Principia mathematica vonWhitehead undRussell entnommen und in einem Anhang kurz zusammengestellt. Wir verwenden sie der Deutlichkeit wegen, nicht aber kalkülmäßig.
Wir vereinbaren, daß Operationszeichen, die aus Merkmalen Merkmale bilden, enger binden als Zeichen, die über Merkmale etwas aussagen. Die Aussage sagea∨b=b∨a ist also(a∨b)=(b∨a), nicht etwaa∨(b=b)∨a zu lesen.
Auf die Frage, warum in IV die Voraussetzungaa'=Ā aufgenommen ist, obwohl sie entbehrt werden kann, ist zu antworten: Axiom IV ist eine Implikation, also formal desto schwächer, je stärker die Voraussetzung ist. 4,1) wäre als Axiom IV formal überflüssig stark.
Vgl. Anhang 9.
BeiKoopman haben diese Aufgabe die AxiomeC undD.
Die Entwicklungen von hier bis ausschließlich (9,4) wurden gelegentlich des Neusatzes 1947 eingefügt und damit Satz (9,4), der ursprünglich als Axiom IX eingeführt worden war, auf das einfachere, hier mit IX bezeichnete Axiom zurückgeführt.
Würden wir von IX nur den Fall k=1 voraussetzen, d. h. nur annehmen, daß je zwei Züge inA voneinander unabhängig sind, dann könnten wir IX für beliebigesk nicht ohne weitere Annahme schließen. Das zeigt das folgende Beispiel.S sei ein Urnenspiel mit den beiden gleichmöglichen Grundmerkmalen 0 und 1.a 1,a 2,a 3, ... seien Grundmerkmale vonS, wie sie beim Wiederholen vonS der Reihe nach auftreten. Das SpielA bestehe darin, daß imn-ten Zug das geordnete Paar (a n ,b n ) als Merkmal angesehen wird, wennb n ≡a n−2 +a n−1 mod 2 ist. Dann gilt IX inA fürk=2 ersichtlich nicht. Es gilt aber, wie der Leser sich selbst überlegen möge, fürk=1.
Es genügt,\(N = \frac{{w(b) (1 - w(b))}}{{\varepsilon ^2 (1 - \sigma )}}\) oder auch, von w(b) unabhängig,\(N = \frac{1}{{4 \varepsilon ^2 (1 - \sigma )}}\) zu nehmen. Vgl. etwa Mises R. v., Wahrscheinlichkeitsrechnung 1931, S. 173, 174.
Dieser Einwand gegen die Limesdefinition ist alt, z. B. findet er sich in aller Schärfe beiReichenbach, Wahrscheinlichkeitslehre 1935, § 66, scheint aber wenig Eindruck gemacht zu haben. AuchReichenbach trägt ihm nicht durch Verlassen der Limesdefinition Rechnung, sondern sucht einen anderen Ausweg.
Diese Darlegung will nur dem Leser das Verstehen der vorstehenden Arbeit erleichtern. Ausführliches findet man inWhitehead undRussell, Principia mathematica. Vgl. auchHilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, 1928, S. 1–9.
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Vietoris, L. Über den Begriff der Wahrscheinlichkeit. Monatshefte für Mathematik 52, 55–85 (1948). https://doi.org/10.1007/BF01320500
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