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References
Man vergleiche die Literaturübersicht in dem Enzyklopädieartikel vonH. Hermes undG. Köthe, Enzyklopädie der math. Wiss., 2. Aufl. Bd. I1 Heft 5, Leipzig und Berlin, 1939 oder inG. Birkhoff, Lattice theory, New York 1940.
L. Kantorovitch, Lineare halbgeordnete Räume, Rec. math. (Moscou)2 (2) 1937, S. 121–165.
Man vergleiche auchL. Kantorovitch, Sur les éspaces semiordonnés, Bull. Acad. Sci. URSS, Sér. math., 1937, 91–110.
J. von Neumann. Continuous geometry, Proc. nat. Acad. Sci. USA22 (1936) 92–100, Examples of continuous geometries, ebenda, 101–108.
G. Birkhoff, a. a. O. 1) Lattice theory, New York 1940., S. 41ff.
Diese Arbeit war im Wesentlichen 1939 abgeschlossen; eine Verkettung unglücklicher Umstände hat ihre Veröffentlichung verzögert.
Vgl.L. Kantorovitch, a. a. O.2). Lineare halbgeordnete Räume, Rec. math. (Moscou)2 (2) 1937.
Vgl.O. Ore, Ann. of math.36 (1935), 406–437.
Wir brauchen in § 3 das Axiom I nur für abzählbareA.
Vgl.L. Kantorovitch, a. a. O.2). Lineare halbgeordnete Räume, Rec. math. (Moscou)2 (2) 1937.
Vgl.Kantorovitch a. a. O. 2) Lineare halbgeordnete Räume, Rec. math. (Moscou)2 (2), 3). Sur les éspaces semiordonnés, Bull. Acad. Sci. URSS, Sér. math., 1937H. Hermes undG. Köthe, Enzyklopädie der math. Wiss., 2. Aufl. Bd. I1 Heft 5, Leipzig und Berlin, 1939 oder inG. Birkhoff, Lattice theory, New York 1940.
a. a. O. 1). S. 41. Dort wird die Existenz eines Funktionalsm(y) mit den Eigenschaften 1) ausy 1<y 2 folgtm(y 1)<m(y2) und 2)m(y 1)+m(y2)=m(y1∪y2)+ +m(y1∩y2) vorausgesetzt. Für die metrische Funktion ϱ (y 1, y2)=m(y2)−m(y1) sind dann unsere Bedingungen 1°–3° erfüllt, 3° sogar in verschärfter Form ϱ(y∪y 1,y∪y 2)+ϱ(y∩y 2)≧ϱ(y 1,y 2). Und für die stetigen metrischen Verbände mit kleinstem und größtem Element, dieBirkhoff weiter (S. 44) betrachtet, sind sogar alle Bedingungen 1°–5° erfüllt.
Denn es ist immery∪(y 1∩y 2)≧(y∪y 1)∩(y∪y 2).
Vgl. z.B. A. H. Frink, Distance functions and the metrization problem, Bull. Amer. math. Soc.43 (1937) 133–142.
Man kann noch weiter gehen und die Bedingung 2° durch die folgende. schwächere ersetzen: 2′.Es existiert eine positive Funktion ϕ(ε),die für alle ε>0definiert ist, für die die Ungleichungen ϱ(Y 1,y 2)<ϕ(ε), ϱ(y 2,y 3)<ϕ(ε)für y 1≧y2≧y3 die Ungleichung ϱ(y 1,y 3)<εzur Folge haben. Es existiert dann wieder eine zu ϱ äquivalente metrische Funktion 417-1, für die 1°–5° und die allgemeine Dreieckungleichung erfüllt sind. Zum Beweise zeigt man zuerst, daß 2′ bei der Definition (17) sogar für beliebigey 1,y 2,y 3 gültig bleibt (mit ϕ (ϕ(ε)) statt ϕ(ε)). Weiter kann man die Überlegungen vonA. H. Frink, a. a. O. 135–136 anwenden.
Vgl. Fußnote 7).
Für zwei punktfremde abgeschlossene Mengeny 1,y 2 isty 1∩y 2=−∞.
Vgl.Hausdorff, Mengenlehre, 3. Aufl., Berlin und Leipzig 1935, S. 145–150,Alexandroff undHopf, Topologie, Berlin 1935, S. 111–116.
Vgl.Alexandroff undHopf, a. a. O. Topologie, Berlin 1935 S. 115.
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Lorentz, G.G. Über die Grenzwerte in Verbänden. Math Z 51, 404–422 (1948). https://doi.org/10.1007/BF01181603
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01181603