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Literaturverzeichnis
K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I. Monatsh. Math. Phys.38, 173–198, 1931.
R. Carnap, Logische Syntax der Sprache. Schr. z. wiss. Weltauff.,8, Wien 1934. Im Folgenden mit “Syntax” bezeichnet.
F. P. Ramsey, The foundations of mathematics. Proc. London Math. Soc., Ser. 2,25, 338–384, 1925. Abgedruckt in: Ramsey, The foundations of mathematics and other logical essays. London 1931.
B. Russell und A. N. Whitehead, Principia Mathematica. I. Cambridge (1910). 2. A. 1925. — Dieselben, Einführung in die mathematische Logik. (Übersetzung der Einleitungen des genannten Werkes.) München 1932. — Russell, Einführung in die mathematische Philosophie. (Orig. 1919.) München 1923.
K. Grelling und L. Nelson, Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti. Abh. d. Friesschen Schule. N. F.2, 301–334, 1908.
Die genannte Ansicht wird z. B. von Chwistek vertreten. Dieser hatte schon vor Ramsey den Vorschlag gemacht, sich mit der einfachen Typenregel zu begnügen und dadurch das Reduzibilitätsaxiom unnötig zu machen. Später jedoch ist er zu der Auffassung gekommen, daß beim Verzicht auf die verzweigte Typenregel die syntaktischen Antinomien, z. B. die von Richard, aufträten (vgl. Chwistek, Die nominalistische Grundlegung der Mathematik. Erkenntnis 3, 367 bis 388, 1933). Nach meiner Ansicht beruht aber die Unentbehrlichkeit der verzweigten Typenregel für das System von Chwistek nur auf einer besonderen Eigentümlichkeit dieses Systems (vgl. Syntax, S. 191 f.)
Vgl. Russell, Princ. Math. I, S. 61; A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre. Berlin, 3. A. 1928, S. 214 ff.
Unter “analytisch” (bzw. “kontradiktorisch”) ist verstanden: aus rein logisch-mathematischen Gründen wahr (bzw. falsch). (Formale Definition s. u. S. 276) Haben die für eine Sprache aufgestellten Umformungsbestimmungen die übliche Form von (logisch-mathematischen) Grundsätzen und Schlußregeln, so heißt eine endliche Satzreihe, die von Grundsätzen ausgeht und nach Schlußregeln fortschreitet, ein Beweis. Der letzte Satz eines Beweises heißt beweisbar, seine Negation widerlegbar. Wie Gödel gezeigt hat, kann man (abgesehen von ganz einfachen Sprachen) die Grundsätze und Schlußregeln niemals so reich ausgestalten, daß alle analytischen Sätze beweisbar, alle kontradiktorischen widerlegbar werden. Die Begriffe ‘analytisch’ und ‘kontradiktorisch’ können nicht mit Hilfe endlicher Satzreihen auf Grund so einfacher, definiter Hilfsmittel, wie es Grundsätze und Schlußregeln sind, definiert werden; ihre Definitionen sind weit komplizierter und müssen auch unendliche Satzklassen zu Hilfe nehmen. (Vgl. Syntax.) Ist ein Satz entweder beweisbar oder widerlegbar, so heißt er entscheidbar; andernfalls unentscheidbar. Ist ein Satz entweder analytisch oder kontradiktorisch, so heißt er L-determiniert, andernfalls synthetisch.
, a. a. O.; vgl. Syntax S. 92.
Die Durchführung sei für die Sprache II (vgl. Syntax) angegeben. Angenommen, in II sei ein Prädikat ‘An’ derart definierbar, daß ‘An (x)’ bedeutet: “DerRZSatzx ist analytisch (in II)”. Dann könnte ‘heterologisch’ definiert werden durch ‘Het(x)≡∼An (subst [x, 3, str (x)])’. ‘Het(x)’ habe die Reihenzahl b. Dann läßt sich leicht zeigen, daß für den Satz ‘Het(b)’ sowohl die Annahme, er sei analytisch, als auch die Annahme, er sei nicht analytisch, zu einem Widerspruch führt.
L. E. J. Brouwer, Mathematik, Wissenschaft und Sprache. Monatsh. Math. Phys.36, 153–164, 1929.
A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. Ber. Akad. Berlin, 1930 (S. 3).
Russell, Principia Mathematica, I. — Vgl. R. Carnap, Abriß der Logistik, Wien 1929.
Vgl. Anm. 13.
In der Terminologie der “Syntax” kann dieser Zusammenhang formal ausgedrückt werden: in einer Sprache mit nur logischen Zeichen ist ‘Is’ quasi-syntaktisch; ‘G-isomorph’ ist das zugeordnete syntaktische Prädikat.
A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre. Berlin, 3. A. 1928, S. 214 ff. a. a. O. (s. Anm. 7), § 16.
A. Fraenkel, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Math. Zs.22, 250–273, 1925.
Fraenkel, Mengenlehre, S. 355.
a. a. O., Fraenkel, Mengenlehre, S. 314.
H. Poincaré, Letzte Gedanken. Leipzig 1913. S. 108 ff., 134 ff.
L. E. J. Brouwer, Intuitionism and Formalism. Bull. Amer. Math. Soc.20, 81–96, 1913.
Th. Skolem, Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze. Vidensk. Skr. Kristiania 1920, Nr.4. — Vgl. auch Fraenkel, a. a. O., Fraenkel, Mengenlehre, S. 333.
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Carnap, R. Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik. Monatsh. f. Mathematik und Physik 41, 263–284 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01697862
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