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Literaturverzeichnis
R n bezeichnet hier, wie üblich, den euklidischen,n-dimensionalen Raum, wobei wir jeden Punkt (x 1,x 2, ...x n ) εR n als ideutisch mit dem Punkte (x 1,x 2, ...x n , O) εR n+1 auffassen werden. Die Polyeder werden hier im elementar-geometrischen Sinne verstanden.
Was die Definition der reduzierten,r-dimensionalen Bettischen Gruppe eines PolyedersP anbetrifft, siehe z. B. P. Alexandroff, Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Berlin, Springer 1932, S. 22. Dort befindet sich auch die Definition derr-dimensionalen Bettischen Zahl vonP, welche hier mitp r (P) bezeichnet wird. In dem l.c. S. 6 angenommenen Sinne werden wir die Begriffe eines Simplexes eines geometrischen Komplexes usw. verstehen. Was die Definition der Homotopie und der Fundamentalgruppe (sog. Poincarésche Gruppe) anbetrifft, siehe z. B. S. Lefschetz, Topology, New-York 1930, S. 77 und 82.
Die MengeP⊂R n zerschneidetR n im Punktea (vgl. den Alexandroffschen Begriff des (n−1)-dimensionalen Hindernisses, Math. Ann.106 (1932), S. 202), wenn es eine nacha konvergierende Punktfolge {x k }⊂R n−P und ein ε>0 gibt derart, daß jeder einfache, inR n−P liegende undx k undx k+1 enthaltende BogenL k einen Durchmesser >ε für jedesk=1,2,... hat. Aus dieser Definition folgt insbesondere, daß eine abgeschlossene MengeP⊂R n den RaumR n nur in den zuP gehörigen Punkten zerschneiden kann.
D. h. die Vereinigungsmenge aller Simplexe vonK, welche 0 als Eckpunkt haben. Das Innere des Sternes erhalten wir durch Tilgung aus dem Stern von sämtlichen Simplexen vonK (irgendeiner Dimension), welche den Mittelpunkt 0 des Sternes nicht enthalten.
Der Beweis, daß eine derartige Abbildung existiert, befindet sich z. B. im Buche von B. v. Kerekjartó, Vorlesungen über Topologie, Berlin 1923, S. 69–72.
Eine stetige Abbildungf einer MengeP⊂R n auf eine Teilmenge vonR n soll eine ε-Transformation heißen, wenn jeder PunktxεP von seinem Bildpunktef(x) höchstens um ε entfernt ist. Vgl. z. B. P. Alexandroff, Annals of Math.30 (1928), S. 102.
Siehe Note7) auf Der Beweis, daß eine derartige Abbildung existiert, befindet sich z. B. im Buche von B. v. Kerekjartó, Verlesungen über Topologie, Berlin 1923, S. 65.
D. h. φ bildetP+T auf eine Teilmenge vonR n+1 stetig ab, wobei für jedesxεP, φ(x)=f(x) gilt. Es ist leicht zu zeigen, daß eine solche Erweiterung existiert. Siehe z. B. Fund. Math.17 (1931), S. 158.
Siehe meine Note, Monatsh. f. Math. u. Phys.38 (1931), S. 383, 7.
D. h. es gibt eine Umgebung vona inP, welche mitR 2 homöomorph ist.
Im Sinne von K. Menger. Siehe z, B. K. Menger, Kurventheorie, Leipzig und Berlin, Teubner 1933, S. 64.
l.c., S. 64–65.
f bildetQ inP ab, wennf(Q)⊂P ist;f bildetQ aufP ab, wennf(Q)=P ist.
Was die Definition der baryzentrischen Unterteilung einer Simplizialzerlegung anbetrifft, siehe z. B. das zitierte Buch von P. Alexandroff, S. 32.
Vgl. S. Lefschetz, l. c. siehe z. B. S. Lefschetz, Topology, New-York 1930, S. 91. Die in diesem Beweise verwendete Konstruktion unterscheidet sich nur unwesentlich von der l. c. angegebenen Lefschetzschen Konstruktion der sog. normalen Umgebungen.
Streckenbild=ein stetiges Bild des Intervalles 0≤t≤1.
Siehe Note2) auf Seite 64 siehe z. B. S. Lefschetz, Topology, New-York 1930.
J. W. Alexander, Trans. Amer. Math. Soc.23 (1922), S. 333–349.
Siehe meine Note, Fund. Math.21 (1933), S. 91–98.
Siehe z. B. C. Kuratowski, Fund. Math.13 (1929), S. 309 und Fund. Math.14 (1929), S. 308, Korollar 2.
J. W. Alexander, Proc. Nat. Acad.10 (1924), S. 6–7.
Fund. Math.19 (1932), S. 227,10.
Fund. Math.17 (1931), S. 160, Beispiel.
Fund. Math.21 (1933), S. 95.
Streckenzug=eindimensionales, zusammenhängendes Polyeder.
Eine TeilmengeC eines topologischen RaumesT heißt inT zusammenziehbar, wenn es eine stetige Funktionf(x, t) gibt derart, daßf(x, 0)=x, f(x, t)∈T, f(x,1)=const. für jedesx∈C und 0≤t≤1 ist. Ich verwende hier diesen punktmengentheoretischen Begriff, anstatt des kombinatorischen Begriffes des Homotopie, um alle algebraischen, vor allem mit der Orientierung verbundenen Betrachtungen zu vermeiden. Falls alle in einem zusammenhängenden PolyederP (oder in einem TeilgebeitG vonR n) liegende Streckenzüge zusammenziehbar sind, so sind auch o ffenbar alle eindimensionalen inP (bzw. inG) liegenden Komplexe homotop Null, d. h. die Fundamentalgruppe vonP (bzw. vonG) reduziert sich zum neutralen Element.
Fund. Math.19 (1932), S. 227, 10.
DaQ (0) ein absoluter Retrakt ist [vgl. Zusatz25)], ist eine solche Funktion vorhanden.
Siehe meine Note, Fund. Math.20 (1933), S. 230, 11. Vgl. auch E. Čeach, Fund. Math.20 (1933), S. 232–243.
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Borsuk, K. Über die Fundamentalgruppe der Polyeder im euklidischen dreidimensionalen Raume. Monatsh. f. Mathematik und Physik 41, 64–77 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01697849
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