ALBERT

Description / Table of Contents: Inhaltsverzeichnis: 1. Vorbereitung. - Grundbegriffe. - Orientierung über die Mannigfaltigkeit der Lösungen. - Beispiele. - Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien. - Systeme von Differentialgleichungen. - Problem der Äquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen. - Bestimmte, überbestimmte, unterbestimmte Systeme. - Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen. - Separation der Variablen. - Erzeugung weiterer Lösungen durch Superposition. Grundlösung der Wärmeleitung. Poissons Integral. - Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das vollständige Integral. - Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. - Das vollständige Integral. - Singuläre Integrale. - Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen. - Quasilineare Differentialgleichungen. - Die Legendresche Transformation. - Legendresche Transformation für Funktionen von zwei Veränderlichen. - Die Legendresche Transformation für Funktionen von n Variablen. - Anwendung der Legendreschen Transformationauf partielle Differentialgleichungen. - Die Bestimmung der Lösungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz. - Formulierung und Erläuterung des Anfangswertproblems. - Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen. - Die Bestimmung der Ableitungen längs der Anfangsmannigfaltigkeit. - Existenzbeweis analytischer Lösungen von analytischen Differentialgleichungen. - Anhang zum ersten Kapitel. - Die Differentialgleichung für die Stützfunktion einer Minimalfläche. - Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Darstellung der flächentreuen Abbildungen. - 2. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. - Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen. - Charakteristische Kurven. - Anfangswertproblem. - Beispiele. - Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhängigen Veränderlichen. - Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Charakteristische Kurven und Fokalkurven. - Lösung des Anfangswertproblems. - Charakteristiken als Verzweigungselemente. Ergänzende Bemerkungen. Integralkonoid. - Zusammenhang mit der Theorie des vollständigen Integrals. - Fokalkurven und Mongesche Gleichung. - Beispiele. - Die Differentialgleichung (grad u)2 = 1. - Zweites Beispiel. - Die Differentialgleichung von CLAIRAUT. - Die Differentialgleichung der Röhrenflächen. - Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhängigen Veränderlichen. - Vollständiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie. - Enveloppenbildung und charakteristische Kurven. - Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen. - Hamilton-Jacobische Theorie. - Beispiel. Zweikörperproblem. - Beispiel. Geodätische Linien auf einem Ellipsoid. - Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung. - Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form. - Der geodätische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung. - Bemerkungen über den Fall homogener Integranden. - Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung. - Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion. - Huberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals. - Der Satz von HAMILTON und JACOBI. - Kanonische Transformationen und Anwendungen. - Die kanonische Transformation. - Neuer Beweis des Hamilton-Jacobischen Satzes. - Variation der Konstanten (kanonische Störungstheorie). - Anhang zum zweiten Kapitel. - Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten. - Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen. - Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten. - Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie. - Literatur zum ersten und zweiten Kapitel. - 3. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen. - Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrücken zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen. - Beispiele. - Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen. - Normalformen. - Beispiel. Minimalflächen. - Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhängigen Veränderlichen. - Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen. - Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen. - Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen. - Bemerkungen über nichtlineare Probleme. - Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. - Allgemeines. - Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion. - Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln. - Zylinder- und Kugelwellen. - Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme. - Anfangswertprobleme der Wärmeleitung. Transformation der Funktion. - Anfangswertprobleme der Wellengleichung. - Methode des Fourierschen Integrals zur Lösung von Anfangswertproblemen. - Lösung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale. - Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode. - Das Ausstrallungsproblem. - Ausbreitungsvorgänge und Huyghenssches Prinzip. - Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik. - Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen. - Grundsätzliche Betrachtungen. - Anhang zum dritten Kapitel. - Ausgleichsprobleme und Heavisides Operatorenkalkül. - Ausgleichsprobleme und Lösung mittels Integraldarstellungen. - Beispiel. Wellengleichung. - Allgemeine Problemstellung. - Integral von DUHAMEL. - Methode der Superposition von Exponentiallösungen. - Die Heavisidesche Operatorenmethode. - Die einfachsten Operatoren. - Beispiele. - Anwendungen auf Ausgleichsprobleme. - Wellengleichung. - Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalküls. Realisierung weiterer Operatoren. - Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme. - Die Transformation von LAPLACE. - Lösung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation. - Beispiele. - Literatur zum Anhang des dritten Kapitels. - 4. Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie. - Vorbemerkungen. - Die Differentialgleichungen von LAPLACE, POISSON und verwandte Differentialgleichungen. - Potentiale von Massenbelegungen. - Greensche Formeln und Anwendungen. - Die Ableitungen der Belegungspotentiale. - Poissons Integral und Folgerungen. - Randwertaufgabe und Greensche Funktion. - Greensche Funktion für Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral für Kugel und Halbraum. - Folgerungen aus der Poissonschen Formel. - Der Mittelwertsatz und Anwendungen. - Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung. - Umkehrung der Mittelwertsätze. - Die Poissonsche Gleichung für Potentiale von Raumbelegungen. - Mittelwertsätze für andere elliptische Differentialgleichungen. - Die Randwertaufgabe. - Vorbemerkungen. Stetige Abhängigkeit von den Randwerten und vom Gebiet. - Lösung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens. - Die Integralgleichungsmethode für Gebiete mit hinreichend glatten Rändern. - Weitere Bemerkungen zur Randwertaufgabe. - Randwertaufgaben für allgemeinere elliptische Differentialgleichungen; eindeutige Bestimmtheit der Lösungen. - Lineare Differentialgleichungen. - Quasilineare Differentialgleichungen. - Ein Satz von RELLICH über die Differentialgleichung von MONGE-AMPERE. - Die Integralgleichungsmethode zur Lösung elliptischer Differentialgleichungen. - Konstruktion von Lösungen überhaupt. Grundlösungen. - Die Randwertaufgabe. - Anhang zum vierten Kapitel. - Verallgemeinerung der Randwertaufgabe. Sätze von WIENERS. - Nichtlineare Differentialgleichungen. - Lehrbuchliteratur zum vierten Kapitel. - 5. Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Die Charakteristiken bei quasilinearen Differentialgleichungen. - Definition der Charakteristiken. - Charakteristiken auf Integralflächen. - Charakteristiken als Unstetigkeitslinien. Wellenfronten. - Charakteristiken für allgemeine Differentialgleichungsprobleme. - Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen. - Invarianz der Charakteristiken gegenüber beliebigen Punkttransformationen. - Beispiele aus der Hydrodynamik. - Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet. - Grundsätzliches über Ausbreitungsvorgänge. - Eindeutigkeitsbeweise. - Die Riemannsche Integrationsmethode. - Riemanns Darstellungsformel. - Ergänzende Bemerkungen. - Beispiel, Telegraphengleichung. - Die Lösungen der Differentialgleichung uxy=f(x, y, u, ux, uy) nach dem Picardschen Iterationsverfahren. - Vorbemerkungen. - Lösung der Anfangswertprobleme. - Eindeutige Bestimmtheit der Lösung. - Stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern. - Das Abhängigkeitsgebiet der Lösung. - Verallgemeinerungen und Anwendung auf Systeme erster Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichem linearen Hauptteil. - Kanonisch-hyperbolische Systeme erster Ordnung. - Die allgemeine quasilineare Gleichung zweiter Ordnung. - Das vollständige System der charakteristischen Differentialgleichungen. - Lösung des Anfangswertproblems. - Die allgemeine Gleichung F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0. - Quasilineare Systeme mit gleichem Hauptteil. - Lösung des Anfangswertproblems im allgemeinen Fall. - Anhang zum fünften Kapitel. - Einführung komplexer Größen. Übergang vom hyperbolischen zu melliptischen Fall durch komplexe Variable. - Der analytische Charakter der Lösungen im elliptischen Fall. - Funktionentheoretische Vorbemerkung. - Analytischer Charakter der Lösungen von [Delta]u = f(x,y,u,p,q). - Bemerkung über den allgemeinen Fall. - Weitere Bemerkungen zur Charakteristikentheorie bei zwei Veränderlichen. - Sonderstellung der Monge-Ampereschen Gleichungen. - 6. Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. - Die charakteristische Gleichung. - Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen. Charakteristische Strahlen. - Charakteristische Mannigfaltigkeiten als Unstetigkeitsflächen von Lösungen - Wellenfronten. - Unstetigkeiten zweiter Ordnung. - Wellenfronten beilinearen Differentialgleichungen als Träger höherer Unstetigkeiten. - Die Differentialgleichung längs einer charakteristischen Mannigfaltigkeit. Ausbreitung der Unstetigkeiten längs der Strahlen. - Physikalische Deutung. Schattengrenzen. - Strahlenkonoid. Zusammenhang mit der Riemannschen Maßbestimmung. - Die Huygensche Konstruktion der Wellenfronten. Strahlenkegel und Richtungsausbreitung. - Strahlen- und Normalenkegel. - Beispiel. Die Poissonsche Wellengleichung in drei Raumdimensionen. - Charakteristiken bei Problemen höherer Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen. Hydrodynamik. - Weitere Systeme. Krystalloptik. - Eindeutigkeitssätze und Abhängigkeitsgebiet bei Anfangswertproblemen. - Die Wellengleichung. - Die Differentialgleichung utt - [Delta]u + [Lambda/t) ut = 0 (DARBOUX). - Maxwellsche Gleichungen im Äther. - Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet bei den Differentialgleichungen der Krystalloptik. - Bemerkungen über Abhängigkeits- und Wirkungsgebiete. Notwendigkeit des konvexen Charakters von Abhängigkeitsgebieten. - Hyperbolische lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Konstruktion der Lösung. - Bemerkungen über die Absteigemethode. - Nähere Diskussion der Lösungen. Prinzip' von HÜYGHENS. - Verifikation der Lösung. - Integration der unhomogenen Gleichung. - Das Ausstrahlungsproblem. - Das Anfangswertproblem für die Gleichung [Delta]u + c2u = utt und für die Telegraphengleichung. - Mittelwertmethode. - Wellengleichung und Gleichung von Darboux. - Die Darbouxsche Differentialgleichung für Mittelwerte. - Zusammenhang mit der Wellengleichung und Auflösung der Wellengleichung. - Das Ausstrahlungsproblem der Wellengleichung. - Ein Satz von FRIEDRICHS. - Ultrahyperbolische Differentialgleichungen und allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Der allgemeine Mittelwertsatz von ASGEIRSSON. - Anderer Beweis des Mittelwertsatzes. - Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Wellengleichung. - Lösungen des charakteristischen Anfangswertproblems der Wellengleichung. - Andere Anwendungen des Mittelwertsatzes. - 8. Betrachtungen über nichthyperbolische Anfangswertprobleme. - Bestimmung einer Funktion aus gewissen Kugelmittelwerten. - Anwendungen auf das Anfangswertproblem. - Die Methode von Hadamard zur Lösung des Anfangswertproblems. - Vorbemerkungen. Grundlösung. Allgemeine Methode. - Die allgemeine Wellengleichung in m = 2 Raumdimensionen. - Die verallgemeinerte Wellengleichung in m = 3 Raumdimensionen. - Bemerkungen über den Wellenbegriff und das Ausstrahlungsproblem. - Allgemeines. Verzerrungsfreie fortschreitende Wellen. - Sphärische Wellen. - Ausstrahlung und Huygenssches Prinzip. - Anhang zum sechsten Kapitel. - Die Differentialgleichungen der Krystalloptik. - Normalen- und Strahlenfläche der Krystalloptik. - Gestalt der Normalenfläche. - Die Strahlenfläche. - Reduktion des Differentialgleichungssystems auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung bzw. vierter Ordnung. - Explizite Lösung durch die Fouriersche Methode. - Diskussion des lösenden Kernes K. - Optische Anwendung. Konische Refraktion. - Abhängigkeitsgebiete bei Problemen höherer Ordnung. - Huyghens Prinzip im weiteren Sinne und fortsetzbare Anfangsbedingungen. - Ersetzung von Differentialgleichungen durch Integralrelationen. Erweiterung des Charakteristikenbegriffes. - 7. Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung. - Vorbereitungen. - Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis. - Allgemeine Problemstellungen. - Lineare Funktionenräume mit quadratischer Metrik. Definitionen. - Randbedingungen. - Die erste Randwertaufgabe. - Problemstellung. - Greensche Formel. Hauptungleichung zwischen D und H. Eindeutigkeit. - Minimalfolgen und Lösung des Randwertproblems. - Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten. - Integralungleichungen. - Das erste Eigenwertproblem. - Höhere Eigenwerte und -funktionen. Vollständigkeit. - Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen. - Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H. - Konstruktion der Grenzfunktionen. - Konvergenzeigenschaften der Integrale D und H. - Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe. - Greensche Formel und Randbedingungen. - Formulierung des Randwertproblems und Variationsproblems. - Einschränkung der Klasse zulässiger Gebiete. - Äquivalenz von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit. - Lösung des Variationsproblems und Randwertproblems. - Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung. - Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete. - Gebiete vom Typus R. - Notwendigkeit von einschränkenden Bedingungen für das Gebiet. - Ergänzungen und Aufgaben. - Die Greensche Funktion von [Delta]u. - Dipolsingularität. - Randverhalten bei [Delta]u = 0 und zwei unabhängigen Veränderlichen für die zweite Randbedingung. - Stetige Abhängigkeit vom Gebiet. - Übertragung der Theorie auf unendlich ausgedehnte Gebiete G. - Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation und Schwingungen von Platten. - Erste Randwert- und Eigenwertaufgabe der Elastizitätstheorie bei zwei Dimensionen. - Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion. - Das Problem von Plateau. - Problemstellung und Ansatz zur Lösung. - Beweis der Variationsrelationen. - Existenz der Lösung des Variationsproblems. - Ergänzende Literaturangaben. - Namen- und Sachverzeichnis. - Kurzbiographien.

Description / Table of Contents: Inhaltsverzeichnis: 1. Die Algebra der linearen Transformationen und quadratischen Formen. - Lineare Gleichungen und lineare Transformationen. - Vektoren. - Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit. - Lineare Transformationen, Matrizen. - Bilinearformen, quadratische und hermitesche Formen. - Orthogonale und unitäre Transformationen. - Lineare Transformationen mit linearem Parameter. - Die Hauptachsentransformation der quadratischen und Hermiteschen Formen. - Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines Maximumprinzips. - Charakteristische Zahlen und Eigenwerte. - Verallgemeinerung auf Hermitesche Formen. - Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. - Darstellung der Resolvente einer Form. - Lösung des zu einer Form gehörigen linearen Gleichungssystems. - Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Kennzeichnung der charakteristischen Zahlen durch ein Minimum-Maximumproblem. - Anwendungen. - Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel. - Lineare Unabhängigkeit und Gramsche Determinante. - Determinantenabschätzung von Hadamard. - Simultane Transformation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt. - Bilinearformen und quadratische Formen von unendlich vielen Variablen. - Unendlich kleine lineare Transformationen. - Variierte Systeme. - Die Auferlegung einer Bindung. - Elementarteiler einer Matrix oder einer Bilinearform. - Spektrum einer unitären Matrix. - Literatur zum ersten Kapitel. - 2. Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen. - Orthogonale Funktionensysteme. - Definitionen. - Orthogonalisierung von Funktionen. - Besselsche Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel. - Orthogonale und unitäre Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen. - Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen. Erweiterung der Voraussetzungen. - Erzeugung vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variabeln. - Das Häufungsprinzip für Funktionen. - Konvergenz im Funktionenraum. - Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzahl. - Unabhängigkeitsmaß. - Asymptotische Dimensionenzahl einer Funktionenfolge. - Der Weierstraßsche Approximationssatz. Vollständigkeit der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. - Der Weierstraßsche Approximationssatz. - Ausdehnung des Ergebnisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen. - Gleichzeitige Approximation der Ableitungen. - Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen. - Die Fouriersche Reihe. - Beweis des Hauptsatzes. - Mehrfache Fouriersche Reihen. - Die Größenordnung der Fourierschen Entwicklungskoeffizienten. - Streckung des Grundgebietes. - Einige Beispiele. - Das Fouriersche Integral. - Beweis des Hauptsatzes. - Ausdehnung des Resultates auf mehr Variable. - Reziprozitätsformeln. - Beispiele für das Fouriersche Integral. - Die Polynome von Legendre. - Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1, x, x2. - Die erzeugende Funktion. - Weitere Eigenschaften. - Beispiele anderer Orthogonalsysteme. - Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führenden Fragestellung. - Die Tschebyscheffschen Polynome. - Die Jacobischen Polynome. - Die Hermiteschen Polynome. - Die Laguerreschen Polynome. - Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome. - Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel. - Die Hurwitzsche Lösung des isoperimetrischen Problems. - Reziprozitätsformeln. - Fouriersches Integral und mittlere Konvergenz. - Spektrale Zerlegung durch Fouriersche Reihe und Fouriersches Integral. - Dichte Funktionensysteme. - Ein Satz von H. MÜNTZ über die Vollständigkeit von Potenzen. - Der Fejersche Summationssatz. - Die Mellinschen Umkehrformeln. - Das Gibbssche Phänomen. - Ein Satz über die Gramsche Determinante. - Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes. - Literatur zum zweiten Kapitel. - 3. Theorie der linearen Integralgleichungen. - Vorbereitende Betrachtungen. - Bezeichnungen und Grundbegriffe. - Quellenmäßig dargestellte Funktionen. - Ausgeartete Kerne. - Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne. - Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern. - Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte. - Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern. - Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte. - Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen. - Der Entwicklungssatz. - Auflösung der inhomogenen linearen Integralgleichung. - Die Bilinearformel für die iterierten Kerne. - Der Mercersche Satz. - Die Neumannsche Reihe und der reziproke Kern. - Die Fredholmschen Formeln. - Neubegründung der Theorie. - Ein Hilfssatz. - Die. Eigenfunktionen eines symmetrischen Kernes. - Unsymmetrische Kerne. - Stetige Abhängigkeit der Eigenwerte und Eigenfunktionen vom Kern. - Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie. - Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel. - Beispiele. - Singuläre Integralgleichungen. - Methode von E. SCHMIDT zur Herleitung der Sätze von FREDHOLM. - Methode von ENSKOG zur Auflösung symmetrischer Integralgleichungen. - Methode von KELLOGG zur Bestimmung von Eigenfunktionen. - Symbolische Funktionen eines Kerns und ihre Eigenwerte. - Beispiel eines unsymmetrischen Kerns ohne Nullösungen . - Volterrasche Integralgleichungen. - Abelsche Integralgleichung. - Die zu einem unsymmetrischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme. - Integralgleichungen erster Art. - Die Methode der unendlich vielen Variablen. - Minimumeigenschaften der Eigenfunktionen. - Polare Integralgleichungen. - Symmetrisierbare Kerne. - Bestimmung des lösenden Kernes durch Funktionalgleichungen. - Die Stetigkeit der definiten Kerne. - Satz von HAMMERSTEIN. - Literatur zum dritten Kapitel. - 4. Die Grundtatsachen der Variationsrechnung. - Die Problemstellung der Variationsrechnung. - Maxima und Minima von Funktionen. - Funktionenfunktionen. - Die typischen Probleme der Variationsrechnung. - Die charakteristischen Schwierigkeiten der Variationsrechnung. - Ansätze zur direkten Lösung. - Isoperimetrisches Problem. - Das Ritzsche Verfahren. Minimalfolgen. - Weitere direkte Methoden. Differenzenverfahren. Unendlich viele Veränderliche. - Prinzipielles über die direkten Methoden der Variationsrechnung. - Die Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung. - Das einfachste Problem der Variationsrechnung. - Mehrere gesuchte Funktionen. - Auftreten höherer Ableitungen. - Mehrere unabhängige Variable. - Identisches Verschwindendes Eulerschen Differentialausdruckes. Divergenzausdrücke. - Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichungen. - Variationsprobleme mit Erweiterung der Zulassungsbedingungen. Sätze von DU BOIS-REYMOND und HAAR. - Andere Variationsprobleme und ihre Funktionalgleichungen. - Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eulerschen Differentialgleichung. - Randbedingungen. - Natürliche Randbedingungen bei freien Rändern. - Geometrische Probleme. Transversalität. - Die zweite Variation und die Legendresche Bedingung. - Variationsprobleme mit Nebenbedingungen. - Isoperimetrische Probleme. - Endliche Bedingungsgleichungen. - Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. - Der invariante Charakter der Eulerschen Differentialgleichungen. - Der Eulersche Ausdruck als Gradient im Funktionenraume. Invarianz des Eulerschen Ausdruckes. - Transformationen von A u. Polarkoordinaten. - Elliptische Koordinaten. - Transformation von Variationsproblemen in die kanonische und involutorische Gestalt. - Transformation bei gewöhnlichen Minimumproblemen mit Nebenbedingungen. - Die involutorische Transformation der einfachsten Variationsprobleme. - Die Transformation des Variationsproblems in die kanonische Gestalt. - Verallgemeinerungen. - Variationsrechnung und Differentialgleichungen der mathematischen Physik. - Allgemeines. - Schwingende Saite (Seil) und schwingender Stab. - Membran und Platte. - Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel. - Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung. - Reziprozität bei isoperimetrischen Problemen. - Kreisförmige Lichtstrahlen. - Das Problem der Dido. - Beispiel eines räumlichen Problems. - Das isoperimetrische Problem auf einer krummen Fläche. - Die Indikatrix und ihre Anwendungen. - Variation bei veränderlichem Gebiet. - Die Sätze von E. NOETHER über invariante Variationsprobleme. Integrale in der Punktmechanik. - Transversalität bei mehrfachen Integralen. - Eulersche Differentialausdrücke auf krummen Flächen. - Das Thomsonsche Prinzip der Elektrostatik. - Gleichgewichtsprobleme beim elastischen Körper. Prinzip von Castigliano. - Das Prinzip von Castigliano in der Balkentheorie. - Das Variationsproblem der Knickung. - Literatur zum vierten Kapitel. - 5. Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik. - Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen. - Allgemeines. Das Superpositionsprinzip. - Homogene und unhomogene Probleme. Randbedingungen. - Formale Beziehungen. Adjungierte Differentialausdrücke. Greensche Formeln. - Lineare Funktionalgleichungen als Grenzfälle und Analoga von Systemen linearer Gleichungen. - Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden. - Hauptschwingungen. Normalkoordinaten. Allgemeine Theorie des Bewegungsvorganges. - Allgemeine Eigenschaften der schwingenden Systeme. - Die schwingende Saite. - Freie Bewegungen der homogenen Saite. - Erzwungene Bewegungen. - Die allgemeine unhomogene Saite und das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem. - Der schwingende Stab. - Die schwingende Membran. - Das allgemeine Eigenwertproblem der homogenen Membran. - Erzwungene Bewegungen. - Knotenlinien. - Rechteckige Membran. - Kreisförmige Membran. Besselsche Funktionen. - Die unhomogene Membran. - Die schwingende Platte. - Allgemeines. - Kreisförmige Begrenzung. - Allgemeines über die Methode der Eigenfunktionen. - Die Methode bei Schwingungs- und Gleichgewichtsproblemen. - Wärmeleitung und Eigenwertprobleme. - Sonstiges Auftreten von Eigenwertproblemen. - Schwingungen dreidimensionaler Kontinua. - Randwertproblem der Potentialtheorie und Eigenfunktionen. - Kreis, Kugel, Kugelschale. - Zylindrisches Gebiet. - Das Lamesche Problem. - Probleme vom Sturm-Liouvilleschen Typus. Singuläre Randpunkte. - Besselsche Funktionen. - Legendresche Funktionen beliebiger Ordnung. - Jacobische und Tschebyscheffsche Polynome. - Hermitesche und Laguerresche Polynome. - Über das asymptotische Verhalten der Lösungen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen. - Beschränktheit bei unendlich anwachsender unabhängiger Variabler. - Verschärfung des Resultates (Besselsche Funktionen). - Beschränktheit bei wachsendem Parameter. - Asymptotische Darstellung der Lösungen. - Asymptotische Darstellung der Sturm-Liouvilleschen Eigenfunktionen. - Eigenwertprobleme mit kontinuierlichem Spektrum. - Die trigonometrischen Funktionen. - Die Besselschen Funktionen. - Das Eigenwertproblem der Schwingungsgleichung für die unendliche Ebene. - Das Schrödingersche Eigenwertproblem. - Störungsrechnung. - Einfache Eigenwerte. - Mehrfache Eigenwerte. - Ein Beispiel zur Störungstheorie. - Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) und die Zurückführung von Differentialgleichungsproblemen auf Integralgleichungen. - Die Greensche Funktion und das Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen. - Die Konstruktion der Greenschen Funktion und die Greensche Funktion im erweiterten Sinne. - Äquivalenz von Differentialgleichungs- und Integralgleichungsproblem. - Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Partielle Differentialgleichungen. - Beispiele für Greensche Funktionen. - Gewöhnliche Differentialgleichungen. - Greensche Funktion von [Delta]u für Kreis und Kugel. - Greensche Funktion und konforme Abbildung. - Die Greensche Funktion der Potentialgleichung für eine Kugeloberfläche. - Die Greensche Funktion der Gleichung [Delta]u = 0 für ein Rechtflach. - Die Greensche Funktion von [Delta]u für das Innere eines Rechtecks. - Die Greensche Funktion für einen Kreisring. - Ergänzungen zum fünften Kapitel. - Beispiele zur schwingenden Saite. - Schwingungen des frei herabhängenden Seils und Besselsche Funktionen. - WeitereBeispiele für explizit lösbare Fälle der Schwingungsgleichung. Funktionenvon MATHIEU. - Parameter in den Randbedingungen. - Greensche Tensoren für Differentialgleichungssysteme. - Analytische Fortsetzung der Lösungen der Gleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0. - Ein Satz über die Knotenlinien der Lösungen von [Delta]u + [Lambda]u = 0. - Beispiel für einen Eigenwert unendlich hoher Ordnung. - Grenzen für die Gültigkeit der Entwicklungssätze. - Literatur zum fünften Kapitel. - 6. Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme. - Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - Die klassischen Extremumseigenschaften. - Ergänzungen und Verallgemeinerungen. - Eigenwertprobleme für Bereiche mit getrennten Bestandteilen. - Die Maximum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte. - Allgemeine Folgerungen aus den Extremumseigenschaften der Eigenwerte. - Allgemeine Sätze. - Das unendliche Anwachsen der Eigenwerte. - Asymptotisches Verhalten der Eigenwerte beim Sturm-Liouvilleschen Problem. - Singuläre Differentialgleichungen. - Weitere Bemerkungen über das Anwachsen der Eigenwerte. Auftreten negativer Eigenwerte. - Stetigkeitseigenschaften der Eigenwerte. - Der Vollständigkeitssatz und der Entwicklungssatz. - Die Vollständigkeit der Eigenfunktionen. - Der Entwicklungssatz. - Verschärfung des Entwicklungssatzes. - Die asymptotische Verteilung der Eigenwerte. - Die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 für ein Rechteck. - Die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 bei Gebieten, welche aus endlich vielen Quadraten oder Würfeln bestehen. - Ausdehnung des Resultates auf die allgemeine Differentialgleichung L[u] + [Lambda Rho]u = 0. - Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für einen beliebigen Bereich. - Die Gesetze der asymptotischen Eigenwertverteilung für die Differentialgleichung [Delta]u + [Lambda]u = 0 in verschärfter Form. - Eigenwertprobleme vom Schrödingerschen Typus. - Die Knoten der Eigenfunktionen. - Ergänzungen und Aufgaben zum sechsten Kapitel. - Ableitung der Minimumeigenschaften der Eigenwerte aus ihrer Vollständigkeit. - Charakterisierung der ersten Eigenfunktion durch ihre Nullstellenfreiheit. - Andere Minimumeigenschaften der Eigenwerte. - Asymptotische Eigenwertverteilung bei der schwingenden Platte. - 5. bis 7. Aufgaben. - Parameter in den Randbedingungen. - Eigenwertprobleme für geschlossene Flächen. - Eigenwertabschätzungen beim Auftreten von singulären Punkten. - Minimumsätze für Membran und Platte. - Minimumprobleme bei variabler Massenverteilung. - Knotenpunkte beim Sturm-Liouvilleschen Problem und Maximum-Minimum-Prinzip. - Literatur zum sechsten Kapitel. - 7. Spezielle durch Eigenwertprobleme definierte Funktionen. - Vorbemerkungen über lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Die Besselschen Funktionen. - Durchführung der Integraltransformation. - Die Hankelschen Funktionen. - Die Besselschen und Neumannschen Funktionen. - Integraldarstellungen der Besselschen Funktionen. - Eine andere Integraldarstellung der Hankeischen und Besselschen Funktionen. - Potenzreihenentwicklung der Besselschen Funktionen. - Relationen zwischen den Besselschen Funktionen. - Die Nullstellen der Besselschen Funktionen. - Die Neumannschen Funktionen. - Die Kugelfunktionen von Legendre. - Das Schläflische Integral. - Die Integraldarstellungen von Laplace. - Die Legendreschen Funktionen zweiter Art . - Zugeordnete Kugelfunktionen (Legendresche Funktionen höherer Ordnung). - Anwendung der Methode der Integraltransformation auf die Legendreschen, Tschebyscheffschen, Hermiteschen und Laguerreschen Differentialgleichungen. - Legendresche Funktionen. - Die Tschebyscheffschen Funktionen. - Die Hermiteschen Funktionen. - Die Laguerreschen Funktionen. - Die Kugelfunktionen von Laplace. - Aufstellung von 2n + 1 Kugelfunktionen n ter Ordnung. - Vollständigkeit des gewonnenen Funktionensystems. - Der Entwicklungssatz. - Das Poissonsche Integral. - Die Maxwell-Sylvestersche Darstellung der Kugelfunktionen. - Asymptotische Entwicklungen. - Die Stirlingsche Formel. - Asymptotische Berechnung der Hankelschen und Besselschen Funktionen für große Argumente. - Sattelpunktmethode. - Anwendung der Sattelpunktmethode zur Berechnung der Hankelschen und Besselschen Funktionen bei großem Parameter und großem Argument. - AllgemeineBemerkungen über die Sattelpunktmethode. - Methode von DARBOUX. - Anwendung der Darbouxschen Methode zur asymptotischen Entwicklung der Legendreschen Polynome. - Sachverzeichnis. - Kurzbiographien.