ISSN:
1435-1528
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Chemistry and Pharmacology
,
Physics
Description / Table of Contents:
Zusammenfassung Es wird eine breite Klasse von Materialien beschrieben, die zusätzlich zu einem schwindenden Rückerinnerungsvermögen infolge Alterungserscheinungen sowohl ein nicht-lineares Elastizitätsverhalten als auch Dissipation aufweisen. Als Maß für die verallgemeinerte Eingangsfunktion,Λ, die ein Multiplet inF is, des Deformationsgradienten; der Temperatur,θ, g = gradθ und verschiedener chemischer Affinitäten,A k , wird eine Halb-Norm über einenBanach-Raum verwendet. Mit der Definition der BeanspruchungsgeschichteΛ t = Λt(s) = Λt(t — s) sε [0, ∞] und mit der Einschränkung, daß die Gegenwart ausgeschlossen ist, d. h.Λ r t =Λ r t (s)=Λ r t (t − s);sε(0, ∞) gibt: [35] $$\begin{gathered} \left\| {\Lambda ^t \left( s \right)} \right\|_{S_P^N } = \sum\limits_{i = 0}^N {\left| {\Lambda ^{\left( i \right)} \left( o \right)} \right|} h_i \left( o \right) \hfill \\ + \sum\limits_{P = 1}^\infty {\left[ {\frac{1}{{1 + kmeasD}}\int\limits_D {\left| {\Lambda _r^t \left( s \right)} \right|} ^p h_p^p \left( s \right)ds} \right]} ^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} \hfill \\ with\left[ {\frac{1}{{1 + kmeasD}}\int\limits_D {h_P^P \left( s \right)} ds} \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 P}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} P}}〈 \infty \hfill \\ andh_P^P \left( s \right) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $$ Λ i (0) diei-te Ableitung nach der Zeit (Gegenwart). Der zweite Summand ist die Modifikation desSteklov-Durchschnittswertes (Kantorovich, 1964) zuP-integrierbarenLebesgue-Funktionen. Es wird angenommen, daß die verallgemeinerte AbhängigkeitΩ(t) vonΛ(t) eine nicht-lineare Funktion (Funktional) der gegenwärtigen Eingangsgrößen und eines Stoffeigenschaften-Vorgeschichte Kernel ist, das durch dieSteklov-Lebesgue-Norm $$||\Lambda ^{ t} (s)||_{S_P^N } $$ vorgegeben ist. Somit ergibt sich: [36] $$\Omega (t) = F[||\Lambda ^{ t} (s)||_{S_P^N } ]\Lambda (t)$$ . Gl. [35] besagt, daß der Einfluß der Vorgeschichte auf das Gegenwartsverhalten mit zunehmender Zeit geringer wird.Der Einfluß eines Inputs endlicher Zeitdauer nimmt ab, je mehr Zeit verstreicht und je älter das Material ist. Diese letztere Beobachtung wird alsStecklov-Alterung bezeichnet. Mit hohem Materialalter wird der Einfluß der Beanspruchungsvorgeschichte völlig ausgelöscht und Gl. [35] lautet dann [37] $$ \mathop { \lim ||}\limits_{\mathop { t \to \infty }\limits_{mes D \to \infty } } \Lambda ^t (s)||s_P^N = \sum\limits_{i = 0}^N {|\Lambda ^{(i)} (o)| h_i (o)} .$$ Damitnähert sich das Verhalten eines Steklov-alternden Materials mit zunehmendem Alter mehr und mehr dem eines nicht-linearen viscoelastischen Materials oder „Markoff“-Materials an. Wenn die Eingangsgrößen und die zeitlichen Änderungen der Eingangsgrößen klein sind, dann wird das Material nach langer Alterung linear viscoelastisch. Es werden Beispiele der Theorie in ihrer Anwendung auf Festkörper Treibstoffe und Sand-Asphalt-Beton beschrieben.
Notes:
Summary A broad class of materials possessing both instantaneous nonlinear elasticity and dissipation in addition to fading memory with aging effects is described. The measure of the generalized input function,Λ, which is a multiplet inF, the deformation gradient;θ, the temperature;g = gradθ, as well as various chemical affinities,A k ; is given by a semi-norm over aBanach space. With the definition of the historyΛ t = Λt(s) ≡ Λt(t — s);sε(0, ∞) and with the restriction ofΛ t to past history given byΛ r t = Λ r t (s) = Λ r t (t — s);sε(0, ∞) the seminorm is: [35] $$\begin{gathered} \left\| {\Lambda ^t \left( s \right)} \right\|_{S_P^N } = \sum\limits_{i = 0}^N {\left| {\Lambda ^{\left( i \right)} \left( o \right)} \right|} h_i \left( o \right) \hfill \\ + \sum\limits_{P = 1}^\infty {\left[ {\frac{1}{{1 + kmeasD}}\int\limits_D {\left| {\Lambda _r^t \left( s \right)} \right|} ^p h_p^p \left( s \right)ds} \right]} ^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} \hfill \\ with\left[ {\frac{1}{{1 + kmeasD}}\int\limits_D {h_P^P \left( s \right)} ds} \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 P}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} P}}〈 \infty \hfill \\ andh_P^P \left( s \right) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} $$ andΛ i (0) the presentith time rate of change. The second summand is a modification of theSteklov Average (Kantorovich, 1964) toP — integrableLebesgue functions. It is assumed that the generalized responseΩ(t) is a nonlinear function(al) of the present inputΛ(t) and a material property-history kernel determined by theSteklov-Lebesgue norm $$||\Lambda ^{ t} (s)||_{S_P^N } $$ such that [36] $$\Omega (t) = F[||\Lambda ^{ t} (s)||_{S_P^N } ]\Lambda (t)$$ . Eq. [35] shows that as time increases and that the influence of the past history on present response decreases.For a given finite duration input, its influence decreases both the longer in the past it occurred and the older the material is. This latter effect is termedSteklov-aging. As the age of the material becomes very large the past history effects are obliterated and from eq. [35] [37] $$ \mathop { \lim ||}\limits_{\mathop { t \to \infty }\limits_{mes D \to \infty } } \Lambda ^t (s)||s_P^N = \sum\limits_{i = 0}^N {|\Lambda ^{(i)} (o)| h_i (o)} .$$ Thus aSteklov-aging material under long term aging approaches the behavior of a nonlinear viscoelastic or Markoffian type material. For very small inputs,Λ(0) and small time rates of change of inputs,Λ (i)(0), the material, after long term aging, becomes linearly viscoelastic. Examples of the theory as applied to solid propellants and a sand-asphalt concrete are given.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01635121
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