ISSN:
1436-5057
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Computer Science
Description / Table of Contents:
Zusammenfassung Der Äquivalenzsatz von Lax über die Konvergenz der Lösung des diskretisierten Problems gegen die des gegebenen sachgemäß gestellten Anfangswertproblems zeigt, daß Stabilität notwendig und hinreichend für die Konvergenz ist, falls das Differenzenschema konsistent ist. In einer früheren Arbeit von Butzer-Weis wurde dieser Satz im Rahmen allgemeiner Banachräume mit Ordnungen versehen, im Sinne, daß Konsistenz, Stabilität und Konvergenz mit Ordnungen betrachtet werden. Nach geeigneter Abänderung der benutzten Definitionen besagt nun eine alternative Form des Äquivalenzsatzes von Lax, daß Konsistenz und Stabilität äquivalent zur Konvergenz sind. Dieses Ergebnis wird ebenfalls auf den Fall mit Ordnungen verallgemeinert. In der Tat sind beide Formen des Satzes von Lax gültig unter den gleichen Definitionen von Konsistenz, Stabilität und Konvergenz mit Ordnungen. Ein Beispiel zeigt, daß der letztere Satz in einem gewissen Sinne bestmöglich ist.
Notes:
Abstract The Lax equivalence theorem on the convergence of the solution of the discrete problem to that of the given properly posed initial-value problem states that if the difference scheme is consistent, then stability is necessary and sufficient for convergence. In a recent paper by Butzer-Weis this theorem was equipped with orders in the setting of arbitrary Banach spaces in the sense that consistency, stability and convergence were considered with orders. By modifying the concepts involved suitably, an alternative form of the Lax theorem reads that consistency and stability is equivalent to convergence. This result is also generalized to one containing orders, in fact, both forms of the Lax theorem are valid under the same definitions of consistency, stability, and convergence with orders. An example is given showing that the latter theorem is in a certain sense best possible.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF02275646
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