ALBERT

Description / Table of Contents: Inhaltsverzeichnis: 1. Vorbereitung. - Grundbegriffe. - Orientierung über die Mannigfaltigkeit der Lösungen. - Beispiele. - Differentialgleichungen zu gegebenen Funktionenscharen und -familien. - Systeme von Differentialgleichungen. - Problem der Äquivalenz von Systemen und einzelnen Differentialgleichungen. - Bestimmte, überbestimmte, unterbestimmte Systeme. - Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen. - Separation der Variablen. - Erzeugung weiterer Lösungen durch Superposition. Grundlösung der Wärmeleitung. Poissons Integral. - Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen. Das vollständige Integral. - Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. - Das vollständige Integral. - Singuläre Integrale. - Theorie der linearen und quasilinearen Differentialgleichungen erster Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen. - Quasilineare Differentialgleichungen. - Die Legendresche Transformation. - Legendresche Transformation für Funktionen von zwei Veränderlichen. - Die Legendresche Transformation für Funktionen von n Variablen. - Anwendung der Legendreschen Transformationauf partielle Differentialgleichungen. - Die Bestimmung der Lösungen durch ihre Anfangswerte und der Existenzsatz. - Formulierung und Erläuterung des Anfangswertproblems. - Reduktion auf ein System von quasilinearen Differentialgleichungen. - Die Bestimmung der Ableitungen längs der Anfangsmannigfaltigkeit. - Existenzbeweis analytischer Lösungen von analytischen Differentialgleichungen. - Anhang zum ersten Kapitel. - Die Differentialgleichung für die Stützfunktion einer Minimalfläche. - Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Darstellung der flächentreuen Abbildungen. - 2. Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. - Quasilineare Differentialgleichungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen. - Charakteristische Kurven. - Anfangswertproblem. - Beispiele. - Quasilineare Differentialgleichungen bei n unabhängigen Veränderlichen. - Allgemeine Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Charakteristische Kurven und Fokalkurven. - Lösung des Anfangswertproblems. - Charakteristiken als Verzweigungselemente. Ergänzende Bemerkungen. Integralkonoid. - Zusammenhang mit der Theorie des vollständigen Integrals. - Fokalkurven und Mongesche Gleichung. - Beispiele. - Die Differentialgleichung (grad u)2 = 1. - Zweites Beispiel. - Die Differentialgleichung von CLAIRAUT. - Die Differentialgleichung der Röhrenflächen. - Allgemeine Differentialgleichung mit n unabhängigen Veränderlichen. - Vollständiges Integral und Hamilton-Jacobische Theorie. - Enveloppenbildung und charakteristische Kurven. - Die Kanonische Gestalt der charakteristischen Differentialgleichungen. - Hamilton-Jacobische Theorie. - Beispiel. Zweikörperproblem. - Beispiel. Geodätische Linien auf einem Ellipsoid. - Hamiltonsche Theorie und Variationsrechnung. - Die Eulerschen Differentialgleichungen in der kanonischen Form. - Der geodätische Abstand oder das Eikonal, seine Ableitungen und die Hamilton-Jacobische partielle Differentialgleichung. - Bemerkungen über den Fall homogener Integranden. - Extremalenfelder und Hamiltonsche Differentialgleichung. - Strahlenkegel. Huyghens Konstruktion. - Huberts invariantes Integral zur Darstellung des Eikonals. - Der Satz von HAMILTON und JACOBI. - Kanonische Transformationen und Anwendungen. - Die kanonische Transformation. - Neuer Beweis des Hamilton-Jacobischen Satzes. - Variation der Konstanten (kanonische Störungstheorie). - Anhang zum zweiten Kapitel. - Erneute Diskussion der charakteristischen Mannigfaltigkeiten. - Formale Vorbemerkungen zur Differentiation in n Dimensionen. - Anfangswertproblem und charakteristische Mannigfaltigkeiten. - Systeme quasilinearer Differentialgleichungen mit gleichem Hauptteil. Neue Herleitung der Charakteristikentheorie. - Literatur zum ersten und zweiten Kapitel. - 3. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung im allgemeinen. - Normalformen bei linearen Differentialgleichungsausdrücken zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Elliptische, hyperbolische, parabolische Normalformen. - Beispiele. - Normalformen quasilinearer Differentialgleichungen. - Normalformen. - Beispiel. Minimalflächen. - Klasseneinteilung der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr unabhängigen Veränderlichen. - Elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen. - Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen. - Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Typeneinteilung bei Systemen von Differentialgleichungen. - Bemerkungen über nichtlineare Probleme. - Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. - Allgemeines. - Ebene Wellen. Verzerrungsfreiheit. Dispersion. - Beispiele: Telegraphengleichung, Verzerrungsfreiheit bei Kabeln. - Zylinder- und Kugelwellen. - Anfangswertprobleme, Ausstrahlungsprobleme. - Anfangswertprobleme der Wärmeleitung. Transformation der Funktion. - Anfangswertprobleme der Wellengleichung. - Methode des Fourierschen Integrals zur Lösung von Anfangswertproblemen. - Lösung der unhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten. Retardierte Potentiale. - Das Anfangswertproblem für die Wellengleichung in zwei Raumdimensionen. Absteigemethode. - Das Ausstrallungsproblem. - Ausbreitungsvorgänge und Huyghenssches Prinzip. - Die typischen Differentialgleichungsprobleme der mathematischen Physik. - Vorbemerkungen. Beispiele typischer Problemstellungen. - Grundsätzliche Betrachtungen. - Anhang zum dritten Kapitel. - Ausgleichsprobleme und Heavisides Operatorenkalkül. - Ausgleichsprobleme und Lösung mittels Integraldarstellungen. - Beispiel. Wellengleichung. - Allgemeine Problemstellung. - Integral von DUHAMEL. - Methode der Superposition von Exponentiallösungen. - Die Heavisidesche Operatorenmethode. - Die einfachsten Operatoren. - Beispiele. - Anwendungen auf Ausgleichsprobleme. - Wellengleichung. - Methode zur Rechtfertigung des Operatorenkalküls. Realisierung weiterer Operatoren. - Zur allgemeinen Theorie der Ausgleichsprobleme. - Die Transformation von LAPLACE. - Lösung der Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Laplaceschen Transformation. - Beispiele. - Literatur zum Anhang des dritten Kapitels. - 4. Elliptische Differentialgleichungen, insbesondere Potentialtheorie. - Vorbemerkungen. - Die Differentialgleichungen von LAPLACE, POISSON und verwandte Differentialgleichungen. - Potentiale von Massenbelegungen. - Greensche Formeln und Anwendungen. - Die Ableitungen der Belegungspotentiale. - Poissons Integral und Folgerungen. - Randwertaufgabe und Greensche Funktion. - Greensche Funktion für Kreis und Kugel. Das Poissonsche Integral für Kugel und Halbraum. - Folgerungen aus der Poissonschen Formel. - Der Mittelwertsatz und Anwendungen. - Homogene und unhomogene Mittelwertgleichung. - Umkehrung der Mittelwertsätze. - Die Poissonsche Gleichung für Potentiale von Raumbelegungen. - Mittelwertsätze für andere elliptische Differentialgleichungen. - Die Randwertaufgabe. - Vorbemerkungen. Stetige Abhängigkeit von den Randwerten und vom Gebiet. - Lösung der Randwertaufgabe mit Hilfe des alternierenden Verfahrens. - Die Integralgleichungsmethode für Gebiete mit hinreichend glatten Rändern. - Weitere Bemerkungen zur Randwertaufgabe. - Randwertaufgaben für allgemeinere elliptische Differentialgleichungen; eindeutige Bestimmtheit der Lösungen. - Lineare Differentialgleichungen. - Quasilineare Differentialgleichungen. - Ein Satz von RELLICH über die Differentialgleichung von MONGE-AMPERE. - Die Integralgleichungsmethode zur Lösung elliptischer Differentialgleichungen. - Konstruktion von Lösungen überhaupt. Grundlösungen. - Die Randwertaufgabe. - Anhang zum vierten Kapitel. - Verallgemeinerung der Randwertaufgabe. Sätze von WIENERS. - Nichtlineare Differentialgleichungen. - Lehrbuchliteratur zum vierten Kapitel. - 5. Hyperbolische Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. - Die Charakteristiken bei quasilinearen Differentialgleichungen. - Definition der Charakteristiken. - Charakteristiken auf Integralflächen. - Charakteristiken als Unstetigkeitslinien. Wellenfronten. - Charakteristiken für allgemeine Differentialgleichungsprobleme. - Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen. - Invarianz der Charakteristiken gegenüber beliebigen Punkttransformationen. - Beispiele aus der Hydrodynamik. - Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet. - Grundsätzliches über Ausbreitungsvorgänge. - Eindeutigkeitsbeweise. - Die Riemannsche Integrationsmethode. - Riemanns Darstellungsformel. - Ergänzende Bemerkungen. - Beispiel, Telegraphengleichung. - Die Lösungen der Differentialgleichung uxy=f(x, y, u, ux, uy) nach dem Picardschen Iterationsverfahren. - Vorbemerkungen. - Lösung der Anfangswertprobleme. - Eindeutige Bestimmtheit der Lösung. - Stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern. - Das Abhängigkeitsgebiet der Lösung. - Verallgemeinerungen und Anwendung auf Systeme erster Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichem linearen Hauptteil. - Kanonisch-hyperbolische Systeme erster Ordnung. - Die allgemeine quasilineare Gleichung zweiter Ordnung. - Das vollständige System der charakteristischen Differentialgleichungen. - Lösung des Anfangswertproblems. - Die allgemeine Gleichung F (x, y, u, p, q, r, s, t) = 0. - Quasilineare Systeme mit gleichem Hauptteil. - Lösung des Anfangswertproblems im allgemeinen Fall. - Anhang zum fünften Kapitel. - Einführung komplexer Größen. Übergang vom hyperbolischen zu melliptischen Fall durch komplexe Variable. - Der analytische Charakter der Lösungen im elliptischen Fall. - Funktionentheoretische Vorbemerkung. - Analytischer Charakter der Lösungen von [Delta]u = f(x,y,u,p,q). - Bemerkung über den allgemeinen Fall. - Weitere Bemerkungen zur Charakteristikentheorie bei zwei Veränderlichen. - Sonderstellung der Monge-Ampereschen Gleichungen. - 6. Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. - Die charakteristische Gleichung. - Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen. Charakteristische Strahlen. - Charakteristische Mannigfaltigkeiten als Unstetigkeitsflächen von Lösungen - Wellenfronten. - Unstetigkeiten zweiter Ordnung. - Wellenfronten beilinearen Differentialgleichungen als Träger höherer Unstetigkeiten. - Die Differentialgleichung längs einer charakteristischen Mannigfaltigkeit. Ausbreitung der Unstetigkeiten längs der Strahlen. - Physikalische Deutung. Schattengrenzen. - Strahlenkonoid. Zusammenhang mit der Riemannschen Maßbestimmung. - Die Huygensche Konstruktion der Wellenfronten. Strahlenkegel und Richtungsausbreitung. - Strahlen- und Normalenkegel. - Beispiel. Die Poissonsche Wellengleichung in drei Raumdimensionen. - Charakteristiken bei Problemen höherer Ordnung. - Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. - Systeme von Differentialgleichungen. Hydrodynamik. - Weitere Systeme. Krystalloptik. - Eindeutigkeitssätze und Abhängigkeitsgebiet bei Anfangswertproblemen. - Die Wellengleichung. - Die Differentialgleichung utt - [Delta]u + [Lambda/t) ut = 0 (DARBOUX). - Maxwellsche Gleichungen im Äther. - Eindeutigkeit und Abhängigkeitsgebiet bei den Differentialgleichungen der Krystalloptik. - Bemerkungen über Abhängigkeits- und Wirkungsgebiete. Notwendigkeit des konvexen Charakters von Abhängigkeitsgebieten. - Hyperbolische lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Konstruktion der Lösung. - Bemerkungen über die Absteigemethode. - Nähere Diskussion der Lösungen. Prinzip' von HÜYGHENS. - Verifikation der Lösung. - Integration der unhomogenen Gleichung. - Das Ausstrahlungsproblem. - Das Anfangswertproblem für die Gleichung [Delta]u + c2u = utt und für die Telegraphengleichung. - Mittelwertmethode. - Wellengleichung und Gleichung von Darboux. - Die Darbouxsche Differentialgleichung für Mittelwerte. - Zusammenhang mit der Wellengleichung und Auflösung der Wellengleichung. - Das Ausstrahlungsproblem der Wellengleichung. - Ein Satz von FRIEDRICHS. - Ultrahyperbolische Differentialgleichungen und allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. - Der allgemeine Mittelwertsatz von ASGEIRSSON. - Anderer Beweis des Mittelwertsatzes. - Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Wellengleichung. - Lösungen des charakteristischen Anfangswertproblems der Wellengleichung. - Andere Anwendungen des Mittelwertsatzes. - 8. Betrachtungen über nichthyperbolische Anfangswertprobleme. - Bestimmung einer Funktion aus gewissen Kugelmittelwerten. - Anwendungen auf das Anfangswertproblem. - Die Methode von Hadamard zur Lösung des Anfangswertproblems. - Vorbemerkungen. Grundlösung. Allgemeine Methode. - Die allgemeine Wellengleichung in m = 2 Raumdimensionen. - Die verallgemeinerte Wellengleichung in m = 3 Raumdimensionen. - Bemerkungen über den Wellenbegriff und das Ausstrahlungsproblem. - Allgemeines. Verzerrungsfreie fortschreitende Wellen. - Sphärische Wellen. - Ausstrahlung und Huygenssches Prinzip. - Anhang zum sechsten Kapitel. - Die Differentialgleichungen der Krystalloptik. - Normalen- und Strahlenfläche der Krystalloptik. - Gestalt der Normalenfläche. - Die Strahlenfläche. - Reduktion des Differentialgleichungssystems auf eine Differentialgleichung sechster Ordnung bzw. vierter Ordnung. - Explizite Lösung durch die Fouriersche Methode. - Diskussion des lösenden Kernes K. - Optische Anwendung. Konische Refraktion. - Abhängigkeitsgebiete bei Problemen höherer Ordnung. - Huyghens Prinzip im weiteren Sinne und fortsetzbare Anfangsbedingungen. - Ersetzung von Differentialgleichungen durch Integralrelationen. Erweiterung des Charakteristikenbegriffes. - 7. Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung. - Vorbereitungen. - Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis. - Allgemeine Problemstellungen. - Lineare Funktionenräume mit quadratischer Metrik. Definitionen. - Randbedingungen. - Die erste Randwertaufgabe. - Problemstellung. - Greensche Formel. Hauptungleichung zwischen D und H. Eindeutigkeit. - Minimalfolgen und Lösung des Randwertproblems. - Das Eigenwertproblem bei verschwindenden Randwerten. - Integralungleichungen. - Das erste Eigenwertproblem. - Höhere Eigenwerte und -funktionen. Vollständigkeit. - Annahme der Randwerte bei zwei unabhängigen Veränderlichen. - Konstruktion der Grenzfunktionen und Konvergenzeigenschaften der Integrale E, D, H. - Konstruktion der Grenzfunktionen. - Konvergenzeigenschaften der Integrale D und H. - Zweite und dritte Randbedingung. Randwertaufgabe. - Greensche Formel und Randbedingungen. - Formulierung des Randwertproblems und Variationsproblems. - Einschränkung der Klasse zulässiger Gebiete. - Äquivalenz von Minimumproblem und Randwertproblem. Eindeutigkeit. - Lösung des Variationsproblems und Randwertproblems. - Das Eigenwertproblem bei zweiter und dritter Randwertbildung. - Diskussion der bei der zweiten und dritten Randbedingung zugrunde gelegten Gebiete. - Gebiete vom Typus R. - Notwendigkeit von einschränkenden Bedingungen für das Gebiet. - Ergänzungen und Aufgaben. - Die Greensche Funktion von [Delta]u. - Dipolsingularität. - Randverhalten bei [Delta]u = 0 und zwei unabhängigen Veränderlichen für die zweite Randbedingung. - Stetige Abhängigkeit vom Gebiet. - Übertragung der Theorie auf unendlich ausgedehnte Gebiete G. - Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen vierter Ordnung. Transversaldeformation und Schwingungen von Platten. - Erste Randwert- und Eigenwertaufgabe der Elastizitätstheorie bei zwei Dimensionen. - Andere Methode zur Konstruktion der Grenzfunktion. - Das Problem von Plateau. - Problemstellung und Ansatz zur Lösung. - Beweis der Variationsrelationen. - Existenz der Lösung des Variationsproblems. - Ergänzende Literaturangaben. - Namen- und Sachverzeichnis. - Kurzbiographien.