Nutshell tables of mathematical functions for interpolation with calculating machines

Zusammenfassung

• 1) Mit einer Rechenmaschine erhält man durch nichtlineare Interpolation leicht die numerischen Werte der einfachen Funktionen auf 10 Dezimalen genau, wodurch die Tafeln besonders kurz werden. Es genügt, die Interpolationsformeln auf eine Form zu bringen, die sich für mechanische Rechnungen eignet und die gewöhnlichen Tafeldifferenzen durch eine Folge von Koeffizienten A, B, C... zu ersetzen, die den Ableitungen der Reihe nach proportional sind. Für die Funktionen einer Veränderlichen (mit Ausnahme von kurzperiodischen Schwingungen) lassen sich die Tafeln sehr rasch herstellen, indem man die Ableitungen entweder direkt oder nach den Regeln der numerischen Interpolation berechnet. Man kann die Tafeln zum Differenzieren und zum Integrieren verwenden. Am Schluß findet man 10-stellige logarithmische Tafeln und die der Kreisfunktionen.

• 2) Gewisse Spezialtafeln mit sehr kleinem Umfang, die nach dem oben angegebenen Prinzip berechnet wurden, gestatten eine Vereinfachung der Berechnung langer geodätischer Bögen nachLevallois-Dupuy (Bull. geod. Nr. 16); sie eignen sich für Berechnungen höchster Genauigkeit.

Resumen

Exploitando a calculador mecánica, se obtienen fácilmente los valores numéricos, con 10 decimales, de las funciones simples por la interpolación curvilinea, lo que reduce las tablas extraordinariamente. Basta adaptar las fórmulas de interpolación a una forma que se preste a los cálculos mecánicos, y sustituir las differencias tabulares habituales por una serie de coeficientes A, B, C, ... proporcionales a las derivadas sucesivas.

Para las funciones de una variable (excepto aquella que presente una fluctuación de corto periodo), las tablas se preparan de manera muy rápida, calculando derivadas, bien directamente, bien por las reglas de interpolación numérica. Las tablas son valederas para la diferenciación e integración. Se encontrará al final de estas tablas de 10 decimales, para logaritmos para funciones circulares.

Ciertas tablas especiales muy condensadas, calculadas según los principios expuestos, permiten simplificar los cálculos de las longitudes geodésicas expuestos porLevallois yDupuy (Bull. Géod., n ^o 16); se prestan a los cálculos más precisos.

Summary

• Taylor Tables of Functions.

  The numerical values to ten decimal places of simple functions can be obtained from tables that cover only one page if a curvilinear interpolation will be applied, in a striking contrast to the familiar logaritmic and trigonometric thesauri which fill hundreds of pages. Only the interpolation formula must be adapted in a form convenient for calculating machines and the usual schema of differences replaced by a set of coefficients A, B, C... proportional to the higher derivatives. The formula reads as (3), where the constant multiplier ±t<1 once for all can be put into the keyboard of the machine.

  The table can be prepared very rapidly for any function of one variable (excepting, of course, those with short period disturbances). The coefficients can be computed by the aid of formulas (2), if the higher derivatives have simple mathematical expressions. In the other cases the coefficients can be obtained from the usual schema of differencesD using the formulas (4), or from the values of the function itself using the auxiliary table above the check formula (6).

  The tables can be used for numerical differentiations and integrations too. At last practical tables to ten decimal places of logarithms, antilogarithms and main trigonometric functions are given.

• Tables for the Computation of Long Geodetic Lines.

  The method ofLevallois andDupuy (Bull. géod. n ^o 16) for the computation of long geodetic lines can be simplified by some special tables, which are given here. These tables can be made very concise using the idea of the author explained in a previous article (Bull. géod. n ^o 29, p. 269). The accuracy of the method meets the highest demands of the present practical geodesy, and, neglecting the last decimal places, any degree of approximation can be obtained most economically.

Résumé

Exploitant un compteur mécanique, on obtient aisément les valeurs numériques à 10 décimales des fonctions simples par l’interpolation curviligne, ce qui rend les tables particulièrement concises. Il suffit d’adapter les formules d’interpolation à une forme se prêtant aux calculs mécaniques, et de remplacer les différences tabulaires habituelles par une suite de coefficients A, B, C, ... proportionnels aux dérivées successives. Pour les fonctions d’une variable (sauf celle présentant une fluctuation à courte période), les tables se préparent de manière très rapide, en calculant des dérivées soit directement soit par les règles d’interpolation numérique. Les tables sont valables pour la différentiation et l’intégration. On trouvera à la fin des tables à 10 décimales des logarithmes et des fonctions circulaires.

Certaines tables spéciales très condensées, calculées selon les principes ci-dessus, permettent de simplifier les calculs des longues géodésiques exposés parLevallois etDupuy (Bull. Géod.n ^o 16); elles se prêtent aux calculs les plus précis.

Sommario

I valori numerici a dieci decimali di funzioni semplici si ottengono agevolmente mediante l’interpolazione curvilinea, ciò che rende le tavole numeriche particolarmente concise. Per ottenere ciò, basta sostituire le differenze tavolari consuete, con una successione di coefficienti A, B, C, ... proporzionali alle derivate successive. Per le funzioni d’una variabile (eccetto quelle che presentano oscillazioni a corto periodo), le tavole si preparano assai rapidamente, calcolando le derivate direttamente, oppure con procedimenti interpolatori. Tali tavole possono utilizzarsi anche per la differenziazione e l’integrazione. Sono riportate alla fine tavole a 10 decimali dei logaritmi, delle funzioni circolari.

Certe tavole speciali molto condensate, calcolate secondo i principi esposti, permettono di semplificare i calcoli delle geodetiche lunghe secondo i metodi esposti daLevallois eDupuy (Bull. Géod. n ^o 16); esse si prestano anche ai calcoli di maggior precisione.