Large axisymmetric deformation of a non-linear viscoelastic circular membrane

Summary

The problem of a viscoelastic circular membrane deforming under its own weight is considered. The membrane, clamped in a horizontal plane at its boundary, is formed from a non-linear viscoelastic material whose behaviour is modelled by a non-linear single integral constitutive equation. The sag of the membrane is considered quasi-static and provision is made in the model for making the relaxation time stretch-dependent. The analysis leads to a system of three equations, two of which are first-order non-linear partial-differential integral equations while the third is an algebraic relation. Time descretization enables the differential equations to be solved as ordinary differential equations which may be dealt with by a familiar step-wise integration process.

Numerical solutions are obtained for membranes with both stretch-dependent and stretch-independent relaxation times.

Zusammenfassung

Das Deformationsproblem einer viscoelastischen Kreismembran unter Eigengewichtsbelastung wird untersucht. Die in ihrer horizontalen Mittelfläche am Rand eingespannte Membran ist aus nichtlinearem, viskoelastischem Material, dessen Verhalten durch nichtlineare, konstitutive Einfachintegrale beschrieben wird. Die Absenkung der Membran wird quasistatisch angeommen, die Relaxationszeit wurde in das Modell dehnungsabhängig eingeführt. Die mathematische Beschreibung führt auf ein System von drei Gleichungen, von denen zwei nichtlineare, partielle Differentialgleichungen erster Ordnung sind, während die dritte eine algebraische Beziehung darstellt. Diskretisierung in der Zeit ermöglicht eine Lösung der Differentialgleichungen, die mit einem bekannten, schrittweisen Integrationsverfahren gelöst werden können.

Numerische Ergebnisse werden sowohl für dehnungsabhängige als auch für dehnungsunabhängige Relaxationszeiten erhalten.