Conservative difference schemes for diffusion problems with boundary and interface conditions

Abstract

For 0≤x≤1, 0≤t≤T we consider the diffusion equation

$$\gamma (x)u_t (x, t) - (B u)_x (x, t) = f(x, t)$$

with (alternatively)B u:=(a(x)u) _x +b(x)u ora(x)u _x +β(x)u. There are given initial valuesu(x,0), influx rates−(B u) (0,t) and (B u) (1,t) across the lateral boundaries and an influx rate (B u) (ζ−0,t)−(B u) (ζ+0,t) at an interface ζ∈(0, 1) where the elsewhere smooth functions γ,a, b, β are allowed to have jump discontinuities.a and γ are assumed to be positive. Interpretingu(x, t) as temperature and γ(x) u (x, t) as energy density we can easily express the total energy$E(t) = \int\limits_0^1 {\gamma (x) u (x, t)}$ in terms of integrals of the given data. We describe and analyse explicit and implicit one-step difference schemes which possess a discrete quadrature analogue exactly matchingE(t) at the time grid points. These schemes also imitate the isotonic dependence of the solution on the data. Hence stability can be proved by Gerschgorin's method and, under appropriate smoothness assumptions, convergence is 0 ((Δx)²+Δt).

Zusammenfassung

Für 0≤x≤1, 0≤t≤T betrachten wir die Diffusionsgleichung

$$\gamma (x)u_t (x, t) - (B u)_x (x, t) = f(x, t)$$

mitB u:=(a(x)u) _x +b(x)u oder (alternativ)a(x)u _x +β(x)u. Vorgegeben sind Anfangswerteu(x,0), Zuflußraten −(B u) (0,t) und (B u) (1,t) und eine Zuflußrate (B u) (ζ−0,t)−(B u) (ζ+0,t) and einer Zwischenstelle ζ∈(0, 1), an der die sonst glatten Funktionen γ,a, b, β Sprungstellen haben dürfen.a und γ sind als positiv vorausgesetzt. Faßt manu(x, t) als Temperatur und γ(x) u (x, t) als Energiedichte auf, so kann man die Gesamtenergie$E(t) = \int\limits_0^1 {\gamma (x) u (x, t)}$ als Integral über die Daten schreiben. Wir analysieren explizite und implizite Einschritt-Differenzenschemata, die an den Zeitgitterpunkten über ein Quadratur-Analogon exaktE (t) reproduzieren. Diese Schemata imitieren auch die isotone Abhängigkeit der Lösung von den Daten, und somit kann ihre Stabilität mit Hilfe von Gerschgorins Methode bewiesen werden, unter entsprechenden Glattheitsannahmen ergibt sich die Konvergenz als 0 ((Δx)²+Δt).