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Zur Geometrie des harmonischen Umschwungs

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Literatur

  1. M. A. Mannheim: Sur le déplacement d'une figure de forme invariable, dont tous les plans passent par des points fixes, J. Ec. Polyt.60 (1890).G. Darboux: Sur les mouvements algébriques. Note III in G. Königs: Leçons de Cinématique (Paris 1897), 352.A. Grünwald: Darstellung der Mannheim-Darbouxschen Umschwungsbewegung eines starren Körpers, Z. Math. Phys.54 (1906), 154–220.

  2. Solche Umschwungkurven sind gelegentlich auf den Walzen gewisser Registrierinstrumente zu beobachten, wenn nämlich der aufgezeichnete Vorgang eine reine Sinusschwingung ist; auch die Garnlagen der sogenannten Kreuzspulen stellen ein geläufiges Beispiel dar.O. Danzer fand Umschwungbahnen bei der Suche nach jenen Raumkurven, die sich zyklographisch auf ein Kurvenpaar abbilden, das aus einer Epi- und einer Hypozykloide mit gemeinsamen Spitzen besteht; vgl. “Über Kurven, die sich zyklographisch als Zykloiden abbilden”, Mh. Math. Phys.22 (1911), 170ff.W. Wunderlich gelangt zu Umschwungkurven bei der Projektion der auf einem Torusring verlaufenden Loxodromen aus irgendeinem Achsenpunkt auf einen koachsialen Drehzylinder; vgl. “Über die Torusloxodromen”, Math. Mah.56 (1952), 313–334 (vgl. insbes. Abb. 4).

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  3. Ausgehend von diesem unmittelbar klaren Leitkegel im Fallen=1, lassen sich Existenz und Abmessungen der Leitquadrik im allgemeinen Fall auch rein geometrisch herleiten.

  4. Vgl. etwa:F. Fabricius-Bjerre: “Über projektive Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung”, Danske Vid. Selsk., Mat. fys. Medd.25 (1950), 3–21.W. Wunderlich: “Beispiele für das Auftreten projektiver Böschungslinien auf Quadriken”, Mat. Tidsskrift, B (1951), 9–26.

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  5. NachW. Wunderlich, “Höhere Radlinien”, Öst. Ing. Arch.1 (1946), 277–296, wird die Bahnkurve des Endpunktes einess-gliedrigen Polygonzuges, dessen Seiten bei festgehaltenem Anfangspunkt mit verschiedenen konstanten Geschwindigkeiten rotieren, als “Radlinies-ter Stufe” bezeichnet. Im vorliegenden Fall ists=3 und die drei mit den Geschwindigkeiten 1,n und-n rotierenden Polygonseiten sind in der Nullstellung durch die Ortsvektoren der Punktea. e iα,-bi/2 undbi/2 in der Gaußschen Zahlenebene gekennzeichnet.

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  6. Vgl. etwaG. Loria-F. Schütte: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven (Leipzig 1910), 1, 482. DieLissajousschen Kurven sind als Bahn eines Punktes, der gleichzeitig zwei harmonischen Schwingungen in zueinander normalen Richtungen unterworfen ist, wohlbekannt.

  7. Vgl. etwaH. Wieleitner: Spezielle ebene Kurven (Sammlung Schubert, Leipzig 1908), 124 oderG. Loria-F. Schütte: Spez. algebr. u. transz. ebene Kurven 1, 367.

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  8. Für dieKlasse, das ist die Anzahl der durch einen gegebenen Raumpunkt gehenden Schmiegebenen, findet man unschwer den WertM=2.(λ+μ).

  9. Diese Kurven stellen, nebenbei bemerkt, für das genannte Paraboloid Isophoten (Lichtgleichen) beiz-paralleler Beleuchtung dar. Durch jede dieser Kurven gehen zwei kongruente parabolische Zylinder.

  10. G. Loria: Curve sghembe speciali (Bologna 1925), 1, 199.

  11. Die Böschungslinien auf Drehquadriken mit lotrechter Achse wurden zum ersten Male vonW. Blaschke betrachtet, der insbesondere gezeigt hat, daß ihre Grundrisse Zykloiden sind: “Bemerkungen über allgemeine Schraublinien”, Mh. Math. Phys.19 (1908), 188ff.

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  12. Siehe etwa:E. Müller-E. Kruppa: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (Leipzig 1936), 89.

  13. W. Wunderlich: “Höhere Radlinien”, Öst. Ing. Arch.1 (1946), 288.

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  14. ZumDrehfluchtpunkt einer Geradeng gelangt man, indem man durch den “Augpunkt”C(0, 0,p) die Parallele zug legt und deren Schnittpunkt mit der Grundebenez=0 einer positiven Viertelschwenkung um den Ursprung unterwirft; analog ist auch dieDrehfluchtspur einer Ebene erklärt. Vgl.Th. Schmid: Darstellende Geometrie II (Sammlung Schubert, Berlin 1922), 225–227.

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  1. Wien

    Walter Kautny

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  1. Walter Kautny
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Kautny, W. Zur Geometrie des harmonischen Umschwungs. Monatshefte für Mathematik 60, 66–82 (1956). https://doi.org/10.1007/BF01295173

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