Zum Einsteinschen „Mischungsparadoxon“

Zusammenfassung

Sowohl die Bose-Einsteinsche als die Fermi-Diracsche Statistik führt bei Anwendung auf ideale Gase zunächst zum Einsteinschen „Mischungsparadoxon“: für genügend tiefe Temperatur fällt der Druck oder die mittlere Energie vonN durchaus gleichen Molekülen diskontinuierlich anders aus als vonN beliebig wenig voneinander verschiedenen. — Wir zeigen, daß sich dieses Paradoxon vom Standpunkt der vieldimensionalen Wellenmechanik aus betrachtet durch folgende Bemerkungen löst: A. SindN voneinander zunächst durchaus verschiedene Moleküle (Massen M_IM_II ...M _N) in ein Gefäß von allgemeiner Form eingeschlossen und entsprechen also wellenmechanisch den verschiedenen zulässigen Bewegungszuständen dieses Gases die verschiedenen Eigenschwingungen eines 3N-dimensionalen Hohlraumes, so hat man bei dem Aufbau des kanonischen Ensembles jede dieser Eigenschwingungen konsequent mit dem Gewicht 1 zu zählen. Fallen dann bei einer kontinuierlichen Veränderung, sei es der Gefäßform, sei es der Molekülmassen die Eigenwerte mehrerer Eigenschwingungen zusammen, so hat man im kanonischen Ensemble die entsprechenden Energieniveaus entsprechend vielfach zu zählen. Dabei kann offenbar nie die für das Mischungsparadoxon charakteristische diskontinuierliche Veränderung solcher Größen, wie mittlerer Energie oder Druck, auftreten. — B. Für wechselseitig durchdringliche Moleküle führt die 3N-dimensionale Wellenmechanik mit der unter A. angegebenen Zählweise zur Boltzmannschen Statistik, falls die Massen M_IM_II ...M _N) durchaus oder gruppenweise gleiche Werte haben. — O. Für wechselseitig undurchdringliche Moleküle sind die 3N-dimensionalen Eigenschwingungen an die „Diagonalforderung“ gebunden. Für durchaus gleiche Moleküle gelangt man so 1) zur Heisenberg-Diracschen Erweiterung des Paulischen Verbotes und also zur Fermischen Statistik. Für durchaus oder gruppenweise verschiedene Molekülmassen läßt sich wegen rechnerischer Schwierigkeiten die Statistik nicht näher ausführen, das Nichtauftreten des Mischungsparadoxons ist aber bei der zugrunde gelegten Zählweise (siehe A.) bestätigt.