Longitudinal dispersion in flows that are homogeneous in the streamwise direction

Abstract

The longitudinal dispersion of a pulse of passive scalar contaminant within a flow that is unchanging in the downstream direction is established to be a function of the mean-velocity-history of molecules from a uniform distribution on the flow cross-section. The specific case of laminar flow between parallel plates is investigated in detail, wherein it is found that

$$\frac{1}{2}\frac{{\overline {d\eta (t)^2 } }}{{dt}} = \frac{9}{{2\pi ^6 }}\frac{{\bar U^2 d^2 }}{k}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^6 }}} \left( {1 - \exp \left( {\frac{{ - (2n\pi )^2 tK}}{{d^2 }}} \right)} \right),$$

where η(t) is the displacement relative to an axis located byŪt whenŪ is the discharge velocity,K is the molecular diffusivity andd is the plate separation. This flow is used to show that the molecule mean velocity-histories can be approximated by a function that does not directly depend on the release position of the molecule on the flow cross-section. The results of a numerical simulation of the dispersion in this flow are presented for comparison.

Zusammenfassung

Für einen Puls einer passiven skalaren Verunreinigung in einer Strömung, die sich stromabwärts nicht verändert, ist gefunden worden, dass die longitudinale Dispersion eine Funktion ist der Geschichte der mittleren Geschwindigkeit der Moleküle, die gleichförmig über den Strömungsquerschnitt verteilt sind. Im besonderen Fall der laminaren Strömung zwischen parallelen Platten wurde gefunden, dass

$$\frac{1}{2}\frac{{\overline {d\eta (t)^2 } }}{{dt}} = \frac{9}{{2\pi ^6 }}\frac{{\bar U^2 d^2 }}{k}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^6 }}} \left( {1 - \exp \left( {\frac{{ - (2n\pi )^2 tK}}{{d^2 }}} \right)} \right),$$

dabei ist η(t) die Verschiebung bezüglich einer durchŪt festgelegten Achse;Ū ist die Ausflussgeschwindigkeit,K is der molekulate Diffusionskoeffizient, undd der Plattenabstand. Diese Strömung wird benützt um zu zeigen, dass die Geschichte der mittleren Geschwindigkeiten der Moleküle angenähert werden kann durch eine Funktion, die nicht direkt von der Anfangsposition des Teilchens abhängt. Zum Vergleich werden die Ergebnisse einer numerischen Simulation der Streuung in dieser Strömung angegeben.