ISSN:
1420-9039
Source:
Springer Online Journal Archives 1860-2000
Topics:
Mathematics
,
Physics
Description / Table of Contents:
Zusammenfassung Wir betrachten die nichtlineare Diffusionsgleichungu t −a(x, u x ) x +b(x, u)=λg(x, u) mit Randbedingungen $$u\left( {0, x} \right) = \mathop u\limits_ - \left( x \right)$$ undu (t, 0)=u (t, 1)=0. Dabei sinda, b, undg monoton wachsende Funktionen bzgl. des zweiten Argumentes. Das zugehörige stationäre Problem hat genau dann eine positive Lösung, fallsλ∈ (0,λ *) oderλ∈(0,λ *]. Der Endpunktλ * kann durch $$\begin{gathered} \lambda * \leqq \sup \mu _1 \left\{ u \right\} \hfill \\ u \hfill \\ \end{gathered} $$ abgeschätzt werden, wobeiμ 1 u den ersten Eigenwert des an der Stelleu linearisierten stationären Problems bezeichnet. Die minimale positive stationäre Lösung ist stabil bzgl. der obigen nichtlinearen parabolischen Gleichung.
Notes:
Abstract We consider the nonlinear diffusion equationu t −a(x, u x x )+b(x, u)=λg(x, u) with initial boundary conditions $$u\left( {0, x} \right) = \mathop u\limits_ - \left( x \right)$$ andu(t, 0)=u(t, 1)=0. Here,a, b, andg denote some real functions which are monotonically increasing with respect to the second variable. Then, the corresponding stationary problem has a positive solution if and only ifλ∈(0,λ *) orλ∈(0,λ *]. The endpointλ * can be estimated by $$\begin{gathered} \lambda * \leqq \sup \mu _1 \left\{ u \right\} \hfill \\ u \hfill \\ \end{gathered} $$ , whereμ 1 u denotes the first eigenvalue of the stationary problem linearized at the “point”u. The minimal positive steady state solutions are stable with respect to the nonlinear parabolic equation.
Type of Medium:
Electronic Resource
URL:
http://dx.doi.org/10.1007/BF00945292
Permalink
